Bezu teoremasi. Gorner sxemasi

DO`STLARGA ULASHING:

Ko’phadning ildizi . Bezu teoremasi. Gorner sxemasi
                       Reja:
  1. Ko’phadning ildizi
  2. Bezu teoremasi
  3. Gorner sxemasi
   f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0  ko’phad  berilgan bo’lsin.
Ta’rif.   Agar x o’zgaruvchining  biror  a  qiymatida f(x) ko’phadning qiymati nolga aylansa, bu a soni f(x) ko’phadning ham ildizi deyiladi.
 f(x) ko’phadning ildizlarini aniqlash uchun uni nolga tenglashtirib yechish kerak.Bu tenglamaning ildizlari  f(x)  ko’phadning  ham ildizlari  bo’ladi.
1-misol f(x)=x4-13x2+36  ko’phadning  ildizlarini  toping.
Yechish.   x4-13x2+36    x4-4x2 -9x2+36=0   (x2-4)(x2-9)=0.   Bu  tenglama  ikkita  tenglamaga ajraladi:
1) x2-4=0 (x-2)(x+2)=0
2) x2-9=0  (x-3)(x+3)=0
Berilgan  ko’phadning  ildizlari: -3;-2;2;3  bo’ladi.
2-misol.   f(x)=2x5+x4-10x3-5x2+8x+4=0   ko’phadning  ildizlarini toping.
 Yechish. 2x5+x4-10x3-5x2+8x+4=0  tenglamani  yechamiz.
2x5-4x4+5x4-10x3-5x2+10x-2x+4=0
2x4(x-2)+5x3(x-2)-5x(x-2)-2(x-2)=0
(x-2)(2x4+5x3-5x-2)=0
(x-2)[2x4+2x3+3x3+3x2-3x2-3x-2x-2]=0
(x-2)(x+1)(2x3+3x2-3x-2]=0
(x-2)(x+1)(x-1)(2x2+5x+2)=0
(x-2)(x+1)(x-1)(2x+1)(x+2)=0
x1=-0,5 ; x2=-2 ;x3=-1; x4=2.
Shunday  qilib, berilgan  ko’phadning ildizlari   -0,5 ; -2 ;-1; 2   bo’ladi.
Bezu teoremasi.  f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a  (a0)  ko’phadni      x-a ikkihadga  bo’lishdan chiqqan qoldiq ko’phadning x=a bo’lgandagi qiymatiga teng:
                                    r = f(a) =
Natija.  f(x)  ko’phad  x-a  ga  bo’lingandagina  va shundagina  a  soni  f(x)  ko’phadning   ildizi   bo’ladi.
Misol. f(x)= x3-1   ko’phad   x=1  ga  bo’linadi.   Chunki  x=1  soni  f(x)= x3-1  ko’p-hadning ildizi  bo’ladi,  ya’ni, f(1)=0
f(x)   ko’phadning  ildizlarini  izlash  uning  xa  ko’rinishidagi  chiziqli  bo’luvchilarini  topish bilan  teng  kuchlidir.
Misollar:
1) x2-a2  ikkihad  x-a  ga  ham,  x+a  ga  ham bo’linadi;
2) x2+a2      ikkihad  x-a  ga  ham,  x+a  ga  ham bo’linmaydi;
3)  x3-a3  ikkihad   ikkihad  x-a  ga  ham,  x+a  ga  ham bo’linmaydi;
Gorner  sxemasi.   fx)=anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+a0  ko’phadni x-  ikkihadga  bo’lishdagi qoldiqni  hisoblashning  Gorner  (Xorner Uilyam  (1786-1837) – ingliz  matematigi)  sxemasi  deb  ataluvchi usulini  ko’rsatamiz.
   f(x)=q(x)(x-a)+r (1)      bo’lsin.
  Bunda    q(x)= b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+…+bn-1.  
  (1)  dagi    x  ning  bir  xil  darajalari  oldidagi  koejjitsiyentlarni  tenglashtirib  quyidagiga  ega  bo’lamiz:
              a0=b0
                       a1=b1-b0
            a2=b2-b1
            …
            an-1=bn-1-bn-2
             an=r — bn-1
bundan  ko’rinadiki, b0=a0,  bk=bn-1 +ak,  k=1,2,3,…, n-1,  r=-bn-1.
  Bo’linma  va  qoldiqni  hisoblash  quyidagi  jadval  yordamida  topiladi.
a0
a1
an-2
an-1
an
b0+a1
b1+a2
bn-2+an-1
bn-1+an
b0= a0
b1
          b2
bn-1
r
Bu sxema Gorner sxemasi deyiladi.
1-misol. x3+4x2-3x+5 ko’phadni  Gorner sxemasidan  foydalanib, x-1  ga  bo’lishni  bajaring.
1
4
-3
5
1
1
5
2
7
   Demak,  x3+4x2-3x+5=(x-1)(x2+5x+2)+7.
   Bezu  teoremasidan  f(x)  ko’phadni  ax+b  ko’rinishdagi  ikkihadga  bo’lishda  hosil  bo’ladigan  r  qoldiq  f  ga teng  bo’lishi  kelib  chiqadi.
2-misol. P(x)= x3-3x2+5x+7  ni  2x+1  ga bo’lishdan   hosil  bo’lgan  qoldiqni  toping.
  Yechish. Qoldiq  r=P ga teng.
3-misol. P4(x) = x4+x3+3x2+2x+2 ko’phadni x-1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping
Bezu teoremasiga asosan:
P4(1) = 1+1+3+2+2 = 9
4-misol: P2(x) = x3+2x2+x-a2 ko’phadni x-2 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiq 8 ga teng bo’lsa, ani toping.
P2(2) = 23+42+2-a2= 8
a2=10
a= —
a=
Javob: a=
5-misol: P5(x)= 2x5 –x4-3x3+x-3 ni x-3 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.
P5(x) = (x-3)  (2x4+5x3+12x2+36x+109) + 324
2
-1
-3
0
1
-3
3∙2
3∙5
3∙12
3∙36
3∙109
C=3
2
5
12
36
109
324
Teorema . Agar    soni  P(x)  ko’phadning  ildizi  bo’lsa, P(x)  ko’phad  x- ikki-  hadga  qoldiqsiz  bo’linadi.
Tayanch iboralar:         ko’phad, ildiz, Bezu, Gorner
Nazorat savollari:
  1. Ko’phadni qoldiqli bo’lish
  2. Bezu teoremasi
  3. Gorner sxemasi
Topshiriqlar
1-misol. F(x)=2x5+x4-10x3-5x2+8x+4  ko’phadning  ildizlarini toping.
2-misol.  F(x)=x4-13x2+36   ko’phadning ildizlarini  toping.
3-misol. Gorner sxemasidan foydalanib, f(x) ko’phadning x=a nuqtadagi qiymatini toping.
 1) f(x)=; 2) f(x)=;  3) f(x)=
Nazorat savollari:
  Kasrlarni qisqartiring:
  1.  m i s o l.
ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h. Berilgan ifodani amal bosqichlari va ularni bajarish qoidalariha roiya qilib soddalashtiramiz:
5-m i s o l. ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h. a > 0 bo’lganda a-r = (0 < r є Q) munosabatdan foydalanib, berilgan ifodani soddalashtiramiz:
1) 1 + — +
                             Foydalanilgan adabiyotlar:
  1. “ Algebra va analiz asoslari ” R. H. Vafoyev. 349 bet,
  2. A. Abduhamidov “Algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar to’plami” 48-52 betlar.
  3. A. Abduhamidov “Algebra va matematik analiz asoslari”
  4. A. Meliqulov “Matematika” I-qism  89-93  betlar
P3(x) = x3-3x2+5x +7 ni 2x+1 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.
P(x) ko’phad D(x) ko’phadni bo’linadimi
  1. a) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x-1
  2. b) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x+1
  3. c) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x2-1
m ning qanday qiymatlarida 3x3-4x2-m2x-2 ko’phad x-2 ga qoldiqsiz bo’linadimi
m ning qanday qiymatlarida 3x3-4x2-mx-1 ko’phad x+1 ga bo’linmaydi.

Оставьте комментарий