ग्रेड 5-10 यंग मैथ सर्कल योजना और विकास

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ग्रेड 5-10 यंग मैथ सर्कल योजना और विकास

 

QUVA जिला

XTMFMTTEB तसरुफिदागी

4 माध्यमिक विद्यालय

गणित शिक्षक

एर्गशोव जलोलिद्दीन

                                                                                     

 

"युवा गणित"

वृत्त

 

 

दस्तावेजों

 

२०१६-२०१७ शैक्षणिक वर्ष

 

 

"मैं मंजूरी देता हूँ"

स्कूल प्रिंसिपल: डी.एरालियावा

 

"___" _____________2017

 

"युवा गणितज्ञ"

सर्कल की वार्षिक कार्य योजना।

 

№ विषय स्रोत Soat कैलेंडर समय संक्रमण का समय
1 मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी दुनिया के महान गणितज्ञ हैं। मंच पर गणित 1    
2 संख्याओं के विभाजन के संकेत। मंच पर गणित 1    
3 रैखिक फलन और उसका ग्राफ बीजगणित-8 1    
4 गणितीय फोकस: "अद्भुत स्मृति"। मंच पर गणित 1    
5 रैखिक समीकरणों की प्रणाली। बीजगणित-8 1    
6 गियोसिद्दीन जमशेद काशी। मंच पर गणित 1    
7 समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके। बीजगणित-8 1    
8 क्रिया प्रतीकों और समान संख्याओं के साथ संख्याएँ लिखें। आठ तक मत गिनो 1    
9 समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करके समस्याओं को हल करें। बीजगणित-8 1    
10 रोमन संख्याएँ। मंच पर गणित 1    
11 संख्यात्मक असमानताएँ और उनके गुण। बीजगणित-8 1    
12 गणितीय खेल "महान"। मंच पर गणित 1    
13 असमानताओं का जोड़ और गुणा बीजगणित-8 1    
14 गणितीय परिष्कार। मंच पर गणित 1    
15 अज्ञात असमानता को हल करें। बीजगणित-8 1    
16 असमानताओं की समाधान प्रणाली। बीजगणित-8 1    
17 ईकब। गणित-6 1    
18 ईकेयूके। गणित-6 1    
19 दो संख्याओं को उनके योग और अनुपात से ज्ञात कीजिए। समस्या को सुलझाना 1    
20 दो संख्याओं को उनके अंतर और अनुपात से ज्ञात कीजिए। समस्या को सुलझाना 1    
21 उनके योग और घटाव का उपयोग करके दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए। समस्या को सुलझाना 1    
22 गति का पता लगाने के मुद्दे। समस्या को सुलझाना 1    
23 कार्रवाई के मुद्दों की बैठक। समस्या को सुलझाना 1    
24 चेस क्रियाएँ। समस्या को सुलझाना 1    
25 एक मात्रा को दूसरे के साथ बदलना। समस्या को सुलझाना 1    
26 ई नंबर तारीख गणित का इतिहास 1    
27 डेटा को बराबर करें और इसमें से एक घटाएं। समस्या को सुलझाना 1    
28 सहयोगात्मक कार्य। समस्या को सुलझाना 1    
29 दो गुणक ज्ञात कीजिए, उनके दिए गए गुणक और उनके गुणक जब वे बराबर हों। समस्या को सुलझाना 1    
30 समस्याओं का अंत से समाधान होगा। समस्या को सुलझाना 1    
31 दिलचस्प और विभिन्न जीवन स्थिति के मुद्दे। समस्या को सुलझाना 1    
32 संख्या पीआई का इतिहास। गणित का इतिहास 1    
33 ऐसी समस्याएं जिन्हें धारणा द्वारा हल किया जा सकता है। समस्या को सुलझाना 1    
34 गणित की रात। प्रतिस्पर्धा 1    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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विषय 1: मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी, दुनिया के महान गणितज्ञ।

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी का जन्म 787 में प्राचीन खोरेज़म में हुआ था। यद्यपि अल-ख्वारिज्मी दस वर्ष का था, उसका मस्तिष्क व्यस्त लग रहा था, और उसका मस्तिष्क जटिल समस्याओं और उदाहरणों के सैकड़ों समाधानों के बारे में सोचने में व्यस्त था। हालाँकि, जैसे-जैसे उनकी मातृभूमि की स्थिति अधिक कठिन होती गई, अल-ख्वारिज्मी ने खोरेज़म को छोड़ दिया और बाबुल चला गया। खिलाफत की राजधानी बगदाद में, मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने प्रसिद्ध शाही काम, द एलीफेंट, अल-हिंद लिखा, जिसका अपना स्वतंत्र विचार था। एक प्रसिद्ध, प्रतिभाशाली युवा वैज्ञानिक के रूप में आता है। हारुन अर-रशीद अल-ख्वारिज्मी ने उन्हें एक दयालु शब्द, सम्मान के साथ बधाई दी और उन्हें अपने महल में काम करने के लिए आमंत्रित किया। हारुन अल-रशीद ने उस समय के प्रसिद्ध विद्वानों को बगदाद में इकट्ठा किया और अल-ख्वारिज्मी को उनका नेतृत्व करने के लिए सौंपा।

यह जानते हुए कि विद्वान एक मजबूत विचार और ज्ञान का व्यक्ति था, हारून अल-रशीद अल-ख्वारिज्मी ने निडर होकर बगदाद में हाउस ऑफ विजडम के आयोजन के चतुर विचार का समर्थन किया और हाउस ऑफ साइंस का आर्थिक रूप से समर्थन किया। खलीफा हारून अल-रशीद की 807 में अचानक मृत्यु हो गई, जब अल-ख्वारिज्मी निर्माण के प्रभारी थे और इसे जल्द से जल्द संचालन में लगाने में व्यस्त थे। उनकी मृत्यु के बाद, उनके बेटे अल-मामुन सिंहासन पर चढ़े। अल-मामुन की खिलाफत अल-ख्वारिज्मी की वैज्ञानिक गतिविधि के उदय के साथ हुई।

अल-ख्वारिज्मी के सुझाव पर, उस समय के महान गणितज्ञ और प्रसिद्ध खगोलविद, जैसे मुहम्मद अल-फ़रघानी, अहमद अल-मुरवाज़ी, अब्बास अल-गवरी, ताहिर यासावी और रेज़ा तुर्कस्तानी, तुर्केस्तान से बगदाद और दुनिया में चले गए। विज्ञान ने इतिहास में विकास का एक चमत्कार बनाया, जिसे बाद में "गणित का अरब स्कूल" कहा गया।

अल-ख्वारिज्मी और उनके देशवासियों ने सार्वभौमिक खोज की, और प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक इरोटोस्थनीज ने संजर पठार पर गणनाओं को स्पष्ट किया और पृथ्वी के मेरिडियन की एक डिग्री की लंबाई को मापा। इस आयाम ने बाद में खगोल विज्ञान और भूगोल के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

अल-ख्वारिज्मी के नेतृत्व में बगदाद गणितीय स्कूल "बैतुल-हिक्मा" ने विश्व संस्कृति के इतिहास पर एक अमिट छाप छोड़ी है। मामून की टेबल ऑफ एस्ट्रोनॉमी, द बुक ऑफ पिक्चर्स ऑफ द यूनिवर्स, और गणित और खगोल विज्ञान, भूगोल और भूगणित में उनके कई महान कार्य निम्नलिखित शताब्दियों में इन विज्ञानों के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। महान विद्वान अल-ख्वारिज्मी, जिन्होंने "विद्रोह के अंत तक" अपना घर छोड़ दिया, पैंतालीस साल तक बगदाद में रहे, उन्होंने खुद को विज्ञान और यहां तक ​​कि अपने परिवार के लिए समर्पित कर दिया। 63 वर्ष की आयु में उनकी मृत्यु हो गई, बिना बच्चे पैदा किए।

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विषय 2:संख्याओं के विभाजन के संकेत।

  • विभाजन के 2 लक्षण।

यदि किसी दी गई संख्या का अंतिम अंक एक सम संख्या या शून्य है, तो वह संख्या भी शेष के बिना 2 से विभाज्य है।

  • विभाजन के 3 लक्षण।

यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो वह संख्या भी बिना नियम के 3 से विभाज्य है।

  • 4 में विभाजन के लक्षण।

दी गई संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी एक संख्या 4 से विभाज्य है, या यदि अंतिम दो अंक 0 हैं, तो दी गई संख्या 4 से विभाज्य है।

  • विभाजन के 5 लक्षण।

0 या 5 से समाप्त होने वाली संख्याएँ बिना शेषफल के 5 से विभाज्य हैं।

  • विभाजन के 6 लक्षण।

यदि दी गई संख्या 2 और 3 से विभाज्य है, तो ये संख्याएँ बिना शेषफल के 6 से विभाज्य हैं।

  • विभाजन के 7 लक्षण।

यदि दी गई संख्या को 7 से विभाजित किया जाता है और अंतर को 7 से विभाजित किया जाता है, तो दी गई संख्या को XNUMX से विभाजित किया जाता है।

  • विभाजन के 8 लक्षण।

यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक 0 या 8 से विभाज्य हैं, तो दी गई संख्या 8 से विभाज्य है।

  • विभाजन के 9 लक्षण।

वे संख्याएँ जिनकी संख्याओं का योग 9 से विभाज्य है, शेषफल के बिना 9 से विभाज्य हैं।

  • विभाजन के 10 लक्षण।

अंतिम अंक 0 वाली संख्याएँ 10 से विभाज्य हैं।

  • विभाजन के 25 लक्षण।

यदि अंतिम दो अंक 0 या 25 से विभाज्य हैं, तो दी गई संख्या 25 से विभाज्य है।

 

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विषय 3: रैखिक फलन और उसका ग्राफ.

 

एक रैखिक फलन y = kx + b के रूप का एक फलन है, जहाँ k और b को संख्याएँ दी गई हैं। जब b = 0, रैखिक फलन का रूप y = kx होता है, और इसका ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होता है। इस तथ्य के आधार पर, यह दिखाया जा सकता है कि रैखिक फलन y = kx + b का आलेख एक सीधी रेखा है। चूंकि केवल एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, इसलिए इस ग्राफ के दो बिंदु बनाने के लिए फ़ंक्शन y = kx + b का ग्राफ बनाना पर्याप्त है।

 

अंक 1। फलन y = 2x + 5 का आलेख खींचिए।

x कब = 0, y = 2x फलन +5 का मान 5 के बराबर है, अर्थात (0; 5) बिंदु ग्राफ के अंतर्गत आता है।

अगर x अगर = 1, तो y = 2 · 1 + 5 = 7, अर्थात बिंदु (1; 7) भी आलेख के अंतर्गत आता है। बिंदु (0; 5) और (1; 7) बनाएं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। यह एक सीधी रेखा है y = 2x +5 फलन . का ग्राफ है

 

 y = 2x +5 फलन के ग्राफ पर प्रत्येक बिंदु की कोटि है y = 2x  हम देखते हैं कि फलन का ग्राफ उस भुज की कोटि से 5 इकाई बड़ा है। यह बात है y = 2x + 5 फ़ंक्शन ग्राफ़ का प्रत्येक बिंदु y=2x इसका अर्थ है कि फलन के ग्राफ पर संगत बिंदु कोटि अक्ष के अनुदिश 5 इकाई ऊपर ले जाकर बनता है।

सामान्य तौर पर, फलन y = kx + b का ग्राफ कोटि अक्ष के अनुदिश इकाई b पर फलन y = kx के ग्राफ को स्थानांतरित करके बनाया जाता है। फलन y = kx और y = kx + b के आलेख समांतर सीधी रेखाएं हैं

अंक २. y = -2x निर्देशांक अक्षों के साथ फलन +4 के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

भुज अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं। इस बिंदु की कोटि 0 है। इसलिए -2x + 4 = 0, इसलिए x = 2.

इस प्रकार, भुज अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का एक निर्देशांक (2; 0) होता है।

निर्देशांक अक्ष के साथ ग्राफ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। चूँकि इस बिंदु का भुज 0 . है y = -2 · 0 + 4 = 4।

इस प्रकार, निर्देशांक अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का एक निर्देशांक (0; 4) होता है (चित्र 16)।

अभ्यास

  1. 1) सब्जी के गोदाम में 400 टन आलू था। हर दिन एक और 50 टन आलू गोदाम में पहुंचाया जाता था। आलू की मात्रा (p) समय की (t) सूत्र के साथ।
  2. पर्यटक बस द्वारा 10 किमी के लिए शहर से निकल गया, और फिर उसी दिशा में 5 किमी / घंटा की गति से चलना शुरू कर दिया। सयोह x शहर से चलने के कितने घंटे बाद (y) की दूरी पर था?

 

 

एमएमआईबीडीओ ': //

विषय 4: गणितीय फोकस: "अद्भुत स्मृति"।

इस ट्रिक को करते हुए छात्र मंडली के सदस्यों के पास जाता है और उनसे कहता है, "मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि मेरी याददाश्त कितनी शानदार है। मेरे हाथ में जो आयताकार कागज हैं, उन पर क्रमांक और सात अंकों की संख्या लिखी हुई है। मैं आपको ये कागजात वितरित करूंगा। आप बारी-बारी से इस पेपर का क्रमांक कहते हैं, और मैं तुरंत गिनता हूं और आपको उस पर लिखी सात अंकों की संख्या बताता हूं। ” तो जादूगर कागज के आयताकार टुकड़ों को सर्कल के सदस्यों को वितरित करता है। वे बारी-बारी से हाथ उठाते हैं और कागज पर अलग-अलग क्रमांक कहते हैं, और जादूगर उस पर सात अंकों की संख्या लिखता रहता है। उदाहरण के लिए, यदि छात्र 13 कहता है, तो जादूगर बोर्ड पर 4 मिलियन 718 हजार 976 लिखता है और पढ़ता है। इसके कई बार दोहराए जाने के बाद जादूगर विद्यार्थियों से पूछता है: - बताओ, क्या मुझे ये नंबर याद थे, या इसमें कोई रहस्य है?

जादूगर द्वारा वितरित कागज पर संख्याएं विभिन्न कानूनों के अनुसार बनाई जाती हैं।

विधि १ उदाहरण के लिए, कागज पर अनुक्रम संख्या दो अंकों की संख्या होने दें, अर्थात निम्नलिखित दृश्य लें:

№ 23

5831459

इस आयताकार कागज पर लिखी सात अंकों की संख्या का निर्माण इस प्रकार है: क्रमांक 2 और 3 का योग 2 + 3 = 5 है; अगली संख्या 3 और 5 का योग 3 + 5 = 8 है; 5 और 8 का योग 5 + 8 = 13 है (जहाँ अंतिम संख्या 3 है); 8 + 3 = 11 (अंतिम संख्या को 1 लिखा जाता है), आदि। सात संख्याएँ उत्पन्न होती हैं। यदि विशेष कागज पर क्रमांक एक अंकीय संख्या है, अर्थात यदि:

№ 2

4606628

इस स्थिति में, स्वयं में 2 जोड़कर 4 बनता है, और शेष संख्याएँ ऊपर के रूप में बनती हैं। 2 + 4 = 6; 4 + 6 = 10 (0 लिखा है) इत्यादि।

 

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विषय 5: समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके।

 

  • प्रतिस्थापन विधि इस प्रकार है:

1) प्रणाली के समीकरण से एक अज्ञात (कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा) दूसरे द्वारा व्यक्त किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, y बटा x;

2) परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखा जाना चाहिए, एक अज्ञात समीकरण बनता है;

3) इस समीकरण को हल करें और x का मान ज्ञात करें;

4) y के व्यंजक में x का पाया गया मान डालकर y का मान ज्ञात कीजिए

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

 

समीकरणों की प्रणाली में हम रूप बदलते हैं (सामान्य भाजक के लिए):

1) 9x+2y= 12, 2y= 12-9x,

2)

3)

उत्तर: x= 0, y= 6. ▲

  • बीजगणितीय जोड़ की विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए:

1) अज्ञात में से किसी एक के सामने गुणांक के मापांक का समीकरण;

2) गठित समीकरणों को जोड़कर या घटाकर एक अज्ञात खोजना;

3) दिए गए सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया गया मान डालें और दूसरा अज्ञात खोजें।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

(2)

1) पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़कर, दूसरे समीकरण को 4 से गुणा करें:

(3)

2) सिस्टम के दूसरे समीकरण (3) से पहले समीकरण को घटाकर, हम पाते हैं: 11y = -22, इसलिए          y = -2।

3) y सिस्टम (2) के दूसरे समीकरण में = -2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं: x + 2 · (-2) = -2, इसलिए x = 2.

उत्तर: x = 2, y = -2

  • समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की चित्रमय विधि इस प्रकार है:

1) प्रणाली के प्रत्येक समीकरण का एक ग्राफ बनाया जाता है;

2) सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं)। समीकरणों के रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान हैं।

 

समतल में दो सीधी रेखाओं के रेखांकन की पारस्परिक व्यवस्था में तीन स्थितियाँ हो सकती हैं - समीकरणों की एक प्रणाली:

1) सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात एक उभयनिष्ठ बिंदु है। इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली का एक ही समाधान है

2) सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं, अर्थात उनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं। इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है;

3) सीधी रेखाएं ओवरलैप होती हैं। इस मामले में, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

अंक 1। दिखाएँ कि समीकरणों के निम्नलिखित निकाय का कोई हल नहीं है:

सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करें और दिए गए सिस्टम के दूसरे समीकरण को परिणामी समीकरण से घटाएं:

_ एक्सएनएनएक्सx + 4y = 12

2x + 4y = 8

_______________________

0 = 4

गलत समानता। इसलिए, x va y (५) ऐसे मान नहीं हैं जिनसे सिस्टम के दोनों समीकरण सत्य हो सकते हैं, अर्थात, (५) सिस्टम का कोई समाधान नहीं है। ▲

इसका अर्थ यह है कि, ज्यामितीय दृष्टिकोण से, सिस्टम समीकरणों के आलेख (5) समानांतर सीधी रेखाएं हैं (चित्र 20)

  1. प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

१) २) ३)

  1. बीजगणितीय जोड़ द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

१) २) ३)

  1. समीकरणों की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करें:

१) २) ३)

 

 

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सना_____

 

 

 

 

 

टॉपिक 6: गियोसिद्दीन जमशेद काशी।

उलुगबेक वैज्ञानिक स्कूल के महान वैज्ञानिकों में से एक जमशेद कोशी हैं। काशी का जन्म 1385 ई. में काशन नगर में हुआ था। छोटी उम्र से ही, कॉची अपने समय के एक प्रमुख गणितज्ञ और खगोलशास्त्री के रूप में प्रसिद्ध हो गए। उलुगबेक ने उन्हें समरकंद में भी आमंत्रित किया, और काशी 1417 में समरकंद आए और महान वैज्ञानिक कार्य करते हुए उलुगबेक वेधशाला के निर्माण में सक्रिय भाग लिया।

उन्होंने खगोल विज्ञान पर 10 कार्यों और गणित पर 3 कार्यों में अपने वैज्ञानिक कार्यों के परिणामों का वर्णन किया। जमशेद काशी की कृतियों में से एक अंकगणित की कुंजी है। यह कार्य मध्यकालीन प्रारंभिक गणित का एक विश्वकोश है। कौची ने यह रचना 1427 में लिखी थी। अंकगणित की कुंजी में एक परिचय और पांच भाग होते हैं। परिचयात्मक भाग में अंकगणित, संख्या और इसके प्रकारों का विवरण है, और इसमें 6 अध्याय हैं।

दूसरा भाग भिन्नों के अंकगणित के लिए समर्पित है और इसमें 12 अध्याय हैं। इस खंड में, उन्होंने विभिन्न भिन्नों, उन पर संक्रियाओं और दशमलव भिन्नों के बारे में महत्वपूर्ण विचारों का वर्णन किया। कॉची ने १०, १००, १०००,… के हर वाले अंशों को पढ़ने और लिखने की शर्तें पेश कीं, जो कि दशमलव अंश हैं। कॉची इन अंशों का वर्णन करता है और बताता है कि "दस", "सौ", "हजार", ... को कैसे पढ़ा जाए, और लिखते समय, पूरे भाग के बाद भिन्नात्मक भाग लिखें, या दशमलव अंश के पूरे भाग को एक अलग रंग की स्याही में लिखें . दशमलव भिन्नों पर संक्रियाओं के कई उदाहरण देता है। इस प्रकार, कौची दशमलव अंशों के सिद्धांत को स्थापित करने वाले पहले वैज्ञानिक थे।

1424 में समरकंद में काशी के काम "एक सर्कल पर ग्रंथ" के विकास का सर्वोच्च शिखर माना जाता है। यह ज्ञात है कि एक वृत्त की लंबाई और उसके व्यास का अनुपात एक स्थिरांक है, जिसे "" अक्षर से दर्शाया जाता है। इस नाटक में कॉची 17 अंकों के साथ "" का मान बड़ी सटीकता के साथ अल्पविराम के बाद निर्धारित करता है।

"" = 3,14159265358997932।

ऊपर देखी गई कॉची की गणना बड़ी सटीकता की है, सभी को चकित करती है, और कॉची गणित के इतिहास पर एक अमिट छाप छोड़ती है।

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विषय 7: समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके।

 

  • प्रतिस्थापन विधि इस प्रकार है:

1) प्रणाली के समीकरण से एक अज्ञात (कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा) दूसरे द्वारा व्यक्त किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, y बटा x;

2) परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखा जाना चाहिए, एक अज्ञात समीकरण बनता है;

3) इस समीकरण को हल करें और x का मान ज्ञात करें;

4) y के व्यंजक में x का पाया गया मान डालकर y का मान ज्ञात कीजिए

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

 

समीकरणों की प्रणाली में हम रूप बदलते हैं (सामान्य भाजक के लिए):

1) 9x+2y= 12, 2y= 12-9x,

2)

3)

उत्तर: x= 0, y= 6. ▲

  • बीजगणितीय जोड़ की विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए:

1) अज्ञात में से किसी एक के सामने गुणांक के मापांक का समीकरण;

2) गठित समीकरणों को जोड़कर या घटाकर एक अज्ञात खोजना;

3) दिए गए सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया गया मान डालें और दूसरा अज्ञात खोजें।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

(2)

1) पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़कर, दूसरे समीकरण को 4 से गुणा करें:

(3)

2) सिस्टम के दूसरे समीकरण (3) से पहले समीकरण को घटाकर, हम पाते हैं: 11y = -22, इसलिए          y = -2।

3) y सिस्टम (2) के दूसरे समीकरण में = -2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं: x + 2 · (-2) = -2, इसलिए x = 2.

उत्तर: x = 2, y = -2

  • समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की चित्रमय विधि इस प्रकार है:

1) प्रणाली के प्रत्येक समीकरण का एक ग्राफ बनाया जाता है;

2) सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं)। समीकरणों के रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान हैं।

 

समतल में दो सीधी रेखाओं के रेखांकन की पारस्परिक व्यवस्था में तीन स्थितियाँ हो सकती हैं - समीकरणों की एक प्रणाली:

1) सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात एक उभयनिष्ठ बिंदु है। इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली का एक ही समाधान है

2) सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं, अर्थात उनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होते हैं। इस मामले में, समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है;

3) सीधी रेखाएं ओवरलैप होती हैं। इस मामले में, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

अंक 1। दिखाएँ कि समीकरणों के निम्नलिखित निकाय का कोई हल नहीं है:

सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करें और दिए गए सिस्टम के दूसरे समीकरण को परिणामी समीकरण से घटाएं:

_ एक्सएनएनएक्सx + 4y = 12

2x + 4y = 8

_______________________

0 = 4

गलत समानता। इसलिए, x va y (५) ऐसे मान नहीं हैं जिनसे सिस्टम के दोनों समीकरण सत्य हो सकते हैं, अर्थात, (५) सिस्टम का कोई समाधान नहीं है। ▲

इसका अर्थ यह है कि, ज्यामितीय दृष्टिकोण से, सिस्टम समीकरणों के आलेख (5) समानांतर सीधी रेखाएं हैं (चित्र 20)

  1. प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

१) २) ३)

  1. बीजगणितीय जोड़ द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

१) २) ३)

  1. समीकरणों की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करें:

१) २) ३)

 

 

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सना_____

 

 

 

 

 

 

विषय ८: क्रिया प्रतीकों और समान संख्याओं के साथ संख्याएँ लिखना।

  • ३७ को पाँच ३ अंकों और क्रिया चिन्हों के साथ लिखिए।

३ + ३ ३ + ३: ३ = ३७

  • चार 2 संख्याओं और क्रिया चिन्हों का प्रयोग करते हुए संख्या 111 लिखिए।

२ २ २: २ = १११

  • संख्या पांच 9 और क्रिया चिन्हों का प्रयोग करते हुए संख्या एक हजार लिखिए।

९: ९ + ९ ९ ९ = १०००

  • 2 28 और केवल जोड़ संक्रिया का उपयोग करके संख्या XNUMX बनाएं।

2 2 + 2 + 2 +2 = 28

  • आप छह समान संख्याओं के साथ 101 कैसे लिखते हैं?

आआ: आ = 101

  • संख्या १०० लिखें, बशर्ते कि संख्याएँ १ से ९ तक की संख्याओं और संक्रिया चिह्नों का उपयोग करके आरोही क्रम में हों।

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 * 9) = 100

1 + 2 + (2 * 3) + (4 + 5) + 6 - 7 + 8 * 9 = 100

1 * 2 + 3 4 + 5 6 + 7 - 8 + 9 = 100

  • तीन समान संख्याओं और संक्रियाओं का प्रयोग करते हुए संख्या 30 लिखिए।

६ * ६ - ६ = ३० ३3+ 3 = 30

५ * ५ + ५ = ३० ३ ३ - ३ = ३०

  • केवल 3 संख्याओं और संक्रियाओं का प्रयोग करके मिलियन संख्या लिखिए।

((३३३-३३): ३)3= 1000000

  • तीन दोहरी संख्याओं और क्रियाओं का उपयोग करके 24 लिखिए।

२ २ + २ = २४

  • 2 से 20 तक की संख्या को पाँच में से 25 की संख्या के साथ लिखिए।

2 2 - 2 - 2 + 2 = 20 2 2 - 2 + (2: 2) = 21

2 2 * 2 - 2 2 = 22 2 2 + 2 - (2: 2) = 23

2 2 - 2 + 2 + 2 = 24 2 2 + 2 + (2: 2) = 25

 

 

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विषय 9: समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करके समस्याओं को हल करना।

 

समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करके समस्या को हल करना आमतौर पर निम्नलिखित योजना के अनुसार किया जाता है:

1) अज्ञात के लिए परिभाषाएँ बनाई जाती हैं और समस्या की सामग्री के अनुरूप समीकरणों की एक प्रणाली बनाई जाती है;

2) समीकरणों की प्रणाली हल हो गई है;

3) मामले की स्थिति पर लौटें और उत्तर लिखें।

मसाला। यदि दो संख्याओं का योग उनके अंतर के 5 गुना से अधिक है, और इन संख्याओं का योग उनके अंतर के 8 गुना से अधिक है, तो ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

1) समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं।

हम कहते हैं एक्स, वाई - मांगे गए नंबर हो। इस मामले में, समस्या की स्थिति के आधार पर, हमारे पास है:

(3)

2) सिस्टम को हल करें।

पहले हम सिस्टम के समीकरणों को सरल बनाते हैं (3):

(4)

दूसरे समीकरण को (4) में 2 से विभाजित करें और इसे पहले समीकरण से विभाजित करें: _ x + 3y = 5

             x + 2y = 4

___________

                    y = 1

y सिस्टम के पहले समीकरण में = 1 को प्रतिस्थापित करना (4), x + 3 · 1 = 5, x हम पाते हैं कि = २.

उत्तर। मांगी गई संख्याएं 2 और 1 हैं।

 

अंक 1:

 

 

 

 १३,००० सूम के लिए ४ किलो चीनी और ७ किलो उच्च कोटि का आटा खरीदा गया। यदि 13000 किलो आटे की कीमत दो किलो चीनी से 4 सौ अधिक है, तो 7 किलो चीनी और 3 किलो आटे की कीमत पाएं।
A ११५० सोम, १२५० सोम
B ११५० सोम, १२५० सोम
C ११५० सोम, १२५० सोम
D ११५० सोम, १२५० सोम

अंक २

  पहले छात्र ने 3 घंटे और दूसरे ने 2 घंटे काम किया और 36 विवरण एक साथ बनाए। यदि उन्होंने 1 घंटे में एक साथ 14 भाग बनाए, तो उनमें से प्रत्येक ने कितने भाग बनाए?
A 24, 12
B 30, 16
C 18, 18
D १४, और २२ ता

अंक २

  किंडरगार्टन के लिए दो प्रकार के १० किलो बिस्कुट क्रमशः २,००० सॉम्स और २,५०० सॉम्स के लिए खरीदे गए, और उन सभी के लिए २२,००० सॉम्स का भुगतान किया गया। प्रत्येक प्रकार के बिस्किट से कितने किलोग्राम प्राप्त होते हैं?
A 6 किलोग्राम, 3 किलोग्राम
B 5 किलोग्राम, 5 किलोग्राम
C 6 किलोग्राम, 4 किलोग्राम
D 3 किलोग्राम, 7 किलोग्राम

4-मसाला

  4 घोड़ों और 10 गायों के लिए प्रतिदिन 88 किलो चारा आवंटित किया गया था। यदि यह ज्ञात हो कि 2 घोड़ों को 5 गायों से 4 किग्रा अधिक दिया जाता था, तो प्रत्येक घोड़े और प्रत्येक गाय को प्रतिदिन कितना चारा दिया जाता था?
A 12 किलोग्राम, 3 किलोग्राम
B 10 किलोग्राम, 6 किलोग्राम
C 12 किलोग्राम, 4 किलोग्राम
D 12 किलोग्राम, 6 किलोग्राम

 

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विषय 10: रोमन अंक।

रोमन अंक हर सभ्य व्यक्ति को पता होना चाहिए, क्योंकि वे अभी भी तारीखों को लिखने, सूचियां बनाने, अध्यायों और पुस्तकों में अनुभागों को चिह्नित करने आदि में उपयोग किए जाते हैं। छात्रों को निम्न तालिका दिखाई जाती है और दशमलव संख्या प्रणाली में रोमन अंकों और उनके मूल्यों की व्याख्या की जाती है।

 

रोमन संख्याएँ I V X L C D M
उनका मूल्य 1 5 10 50 100 500 1000

 

रोमन अंकों की उत्पत्ति सीधे लैटिन वर्णमाला में अक्षरों के नाम से संबंधित है: I - ,, i ”; वी - , वी ”; एक्स -,, आईक्स ”; एल - ,, एल ”; सी - ,, से ”; डी - ,, डी ”; एम - ,, एम ”; इन अक्षरों का उपयोग करके एक लाख तक की कोई भी संख्या लिखी जाती है। रोमन अंकों के साथ संख्याएँ लिखते समय कुछ नियम होते हैं, अर्थात किसी संख्या को लिखते समय एक संख्या को तीन बार से अधिक नहीं लिखा जा सकता है।

लेखन आदेश: मैं-एक; द्वितीय-दो; तृतीय-उच; चतुर्थ-चार; वी-बेश; VI-छह; सातवीं-यति; आठवीं-आठ; नौवीं-नौ; एक्स-ऑन। 20 से XX तक की समान संख्याओं को इसी प्रकार लिखा जा सकता है: XI; बारहवीं; तेरहवीं; XIV; एक्सवी; XVI; XVII; XVIII; XIX; एक्सएक्स; ……

रोमन अंकों में लिखी गई संख्याओं का मान निर्धारित करते समय इस बात का ध्यान रखना चाहिए कि यदि बड़ी संख्या के बाईं ओर एक छोटी संख्या लिखी जाए तो छोटी संख्या में इकाइयों की संख्या बड़ी संख्या में इकाइयों की संख्या से घटा दी जाती है। यदि बड़ी संख्या के दाईं ओर एक छोटी संख्या लिखी जाती है, तो छोटी संख्या में इकाइयों की संख्या बड़ी संख्या में इकाइयों की संख्या में जोड़ दी जाती है।

1-misol.  XXXVII=10+10+10+5+1+1=37     CLXIII=100+50+10+1+1+1=163  CXL=100+(50- 10)=140  XL=50-10=40

2-misol. 102=100+2=CII    374=100+100+100+50+10+10+(5-10)=CCCLXXIV

29635 जैसी बड़ी संख्याएँ इस प्रकार लिखी जाती हैं:

XXIXmDCXXXV = (10 + 10 + (10-1)) m + 500 + 100 + 10 + 10 + 10 + 5 लोअरकेस m लैटिन शब्द मिल से लिया गया है, जो हजार की संख्या को दर्शाता है।

व्यायाम:

  • निम्नलिखित संख्याओं को अरबी अंकों में लिखें: XXIII, XXXIV, DXIV, MDCLXVI, DmIX, MCXLVI, XXXIV, XXIX, CDXXI, CMIII, MCMXLV।
  • इन नंबरों को रोमन अंकों में व्यक्त करें: 49, 574, 1147, 1974, 5003।

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साना: ______

 

 

 

 

 

विषय 11: संख्यात्मक असमानताएं और उनके गुण।

 

यदि a> b और b> c, तो a> c।

यदि असमानता के दोनों भागों में समान संख्या जोड़ दी जाए, तो असमानता का चिह्न नहीं बदलता है।

किसी भी जोड़ को असमानता के एक हिस्से से दूसरे में स्थानांतरित किया जा सकता है, इसके विपरीत के लिए उस जोड़ के चिह्न को प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है।

यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाता है।

यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही धनात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह नहीं बदलता है। यदि असमानता के दोनों भागों को एक ही ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है

अंक 1। अगरो a>b यदि ऐसा है तो -a<-b साबित करो

>b असमानता के दोनों भागों को -1 ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर, -a<-b हम बनाते हैं। ▲

उदाहरण के लिए, असमानता 1,9 <2,01 असमानता को जन्म देती है -1,9> -2,01, और असमानता असमानता की ओर ले जाती है।

अंक 2। अगरो a va b - सकारात्मक संख्या और a>b यदि ऐसा है तो सिद्ध कीजिए कि यह है।

बी <ए असमानता के दोनों भाग ab . बनाने के लिए एक सकारात्मक संख्या से विभाजित करें

अंक २

  यदि हां, तो निम्नलिखित में से कौन सी असमानता वैध है?
A
B
C
D

अंक २

  यदि हम दी गई असमानता के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं, तो कौन सी असमानता बनती है?
A
B
C
D

अंक २

   असमानता को दो भागों में विभाजित करने पर क्या असमानता बनती है?
A
B
C
D

 

अंक २

  दी गई असमानता के दोनों भागों को गुणा करने पर कौन सी असमानता बनती है?
 
 
 
 

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विषय 12: गणितीय खेल "महान"।

उद्देश्य: छात्रों को तेजी से सोचना, सतर्क रहना, मौखिक रूप से जल्दी और सटीक रूप से गणितीय कार्यों की गणना करना सिखाना।

यह खेल छात्रों को मौखिक रूप से तेजी से गुणा और विभाजित करना सिखाता है, उनका ध्यान, सतर्कता, स्मृति को मजबूत करने में मदद करता है। इसके अलावा, छात्र इस खेल में बहुत रुचि रखते हैं और कभी ऊबते नहीं हैं और इसे बार-बार खेलते हैं। गेम मोड इस प्रकार है। कई छात्र एक ही बार में नंबर डायल करते हैं और क्रम से गिनते हैं। उदाहरण के लिए, जब ऐसी संख्याएँ होती हैं जो बिना किसी शेष के 7 से विभाज्य होती हैं और 7 पर समाप्त होती हैं, तो उस संख्या को कहने वाले छात्र को उस संख्या के बजाय "उत्कृष्ट" शब्द कहना चाहिए। यदि छात्र तुरंत शब्द नहीं कहता है या खो जाता है, तो खेल बंद हो जाता है, वह छात्र खेल छोड़ देता है, और खेल फिर से शुरू होता है, उसके बाद छात्र। अंत तक पहुंचने वाला एकमात्र छात्र विजेता होता है।

उदाहरण के लिए: 6 से विभाज्य संख्याएँ:

1, 2, 3, 4, 5, "उत्कृष्ट", 7, 8, 9, 10, 11, "उत्कृष्ट", 13, 14, 15, "उत्कृष्ट", 17, "उत्कृष्ट", 19, 20, 21, 22, 23, "उत्कृष्ट", 25, "उत्कृष्ट", 27, 28, 29, "उत्कृष्ट" …… इस तरह से खेल जारी है।

 

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विषय 13: असमानताओं का जोड़ और गुणा

 

प्रमेय 1. समान चिह्न के साथ असमानताओं को जोड़ने पर समान चिह्न असमानता प्राप्त होती है: यदि a> b और c> d, तो a + c> b + d।

उदाहरण:

१) २)

प्रमेय २। समान चिह्न असमानताओं को धनात्मक बाएँ और दाएँ पक्षों से गुणा करने पर समान चिह्न असमानता प्राप्त होती है: यदि a> b, c> d और a, b, c, d धनात्मक संख्याएँ हैं, तो इस स्थिति में ac> bd।

उदाहरण:

१) २)

अगर a, b - सकारात्मक संख्या और a>b यदि ऐसा है तो a2>b2 होगा।

ए> बी असमानता को अपने आप से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं: a2>b2.

इसी तरह, a, b - सकारात्मक संख्या और a>b फिर कोई प्राकृतिक n के लिये an>bn साबित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 5> 3 असमानता से 55>35, 57>37 असमानताएं जैसे

प्रश्न 1

  असमानताओं को जोड़ें: और।
A
B
C
D

 

प्रश्न 2

  असमानताओं को गुणा करें: और।
A
B
C
D

प्रश्न 3

  असमानताओं को गुणा करें: और।
A
B
C
D

प्रश्न 4

  यदि हां, तो निम्नलिखित में से कौन सी असमानता सही है?
A
B
C
D

 

प्रश्न 6

  यदि और, तो निम्नलिखित में से कौन सी असमानता वैध है?
A
B
C
D

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विषय 14: गणितीय परिष्कार

लोगों के बीच एक कहावत है कि 'दो बार दो के रूप में जाना जाता है', जिसका अर्थ है कि तर्क गणितीय कानूनों और उन सत्यों के आधार पर तार्किक रूप से सिद्ध होता है जिन पर वे आधारित होते हैं। इसलिए, यदि हम किसी तर्क के आधार पर तार्किक विरोधाभास लेते हैं, उदाहरण के लिए, 2 × 2 = 5 का परिणाम, तो यह इंगित करता है कि हमारे तर्क में कहीं त्रुटि हुई थी। लेकिन कई मामलों में इस त्रुटि का पता लगाना आसान नहीं होता है।

वास्तव में, पहली नज़र में, बिल्कुल सही विचारों के साथ दोष खोजना मुश्किल है:

  1. उस मामले में और। हडमा के पिछले समीकरणों को जोड़ने पर, हमें निम्नलिखित मिलता है, अब हम दोनों पक्षों से घटाते हैं या नी लेते हैं। इसी से चलता है।

2. हमें सही संख्या समीकरण मिलता है: 225: 25 + 75 + 100-16 और कुछ प्रतिस्थापन के बाद हम प्राप्त करते हैं:

25(9:1+3)=84, 25×12=7×12, 5×5=7

3. हम समीकरण को इस प्रकार प्रतिस्थापित करते हैं:

5005-2002=35×143-143×14

4.81-171 = 100-190 प्लस समीकरण के दोनों पक्ष

८१-१७१ + = १००-१९० +

या

;

उस मामले में।

यहां हाईच का कोई प्रमाण नहीं है, केवल गणित के नियमों और नियमों का उल्लंघन किया जाता है। पहले उदाहरण में, असंभव ऑपरेशन को शून्य () से विभाजित करके किया जाता है, और दूसरे में, विभाजन ऑपरेशन () में गुणा के वितरण कानून को गलत तरीके से लागू किया जाता है।

तीसरे मामले में, 0 से विभाजन किया जाता है, और चौथे में, संख्याओं के वर्गों की समानता उनकी समानता (हालांकि बराबर) की ओर ले जाती है।

उदाहरण दिए गए हैं गणितीय परिष्कार बुला हुआ सोफिज़्म (ग्रीक शब्द -पज़ल, धूर्त से) में सत्य के करीब राय की एक श्रृंखला होती है जिसमें त्रुटि छिपी होती है, इस प्रकार एक बेतुका, विरोधाभासी, विरोधाभासी निष्कर्ष निकलता है;

गणित के इतिहास में सोफिस्टों ने एक प्रमुख भूमिका निभाई है। वे नए कानूनों की खोज और सिद्धांतों के निर्माण के लिए प्रेरणा थे। कहा जाता है कि अगर कोई गलती पाई जाती है और सोचा जाता है तो सोफिज्म हल हो जाता है। परिष्कार पर पहली पुस्तक "व्हेयर इज द एरर?" डब्ल्यू. लिट्ज़मैन और एफ. ट्रायर द्वारा लिखी गई थी। उनकी पुस्तक 1919 में पेत्रोग्राद में प्रकाशित हुई थी, जिसमें कई गणितीय परिष्कार उद्धृत किए गए थे और उन पर चर्चा की गई थी।

 

 

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विषय 15: एक अज्ञात असमानता का समाधान।

एक अज्ञात असमानता को हल करने के लिए जो एक रैखिक असमानता की ओर ले जाती है:

1) अज्ञात को बाईं ओर, और अज्ञात को दाईं ओर स्थानांतरित करना (संपत्ति 1);

2) समान पदों को सारांशित करें और असमानता के दोनों भागों को अज्ञात के सामने गुणांक से विभाजित करें (यदि यह शून्य के बराबर नहीं है) (संपत्ति 2)।

अंक 1। असमानता को हल करें:

                      3(x-2)-4(x+1)<2(x-3)-2                    

आइए असमानता के बाएँ और दाएँ भागों को सरल करें। हम कोष्ठक खोलते हैं:

3एक्स-6-4x-4<2x 6 - 2

हम अज्ञात को असमानता के बाईं ओर ले जाते हैं, और अज्ञात (मुक्त) को दाईं ओर (संपत्ति 1):

3x-4एक्स-2x<6 + 4-6-2

समान शब्दों को संक्षेप में लिखें: - 3x <2

और असमानता के दोनों हिस्सों को -3 (संपत्ति 2) से विभाजित करें:

उत्तर। ▲
इस समाधान को संक्षेप में निम्नानुसार किया जा सकता है:

 

1) a भिन्न किस मान पर भिन्न से बड़ा होता है?

2) b भिन्न किस मान पर भिन्न से छोटा होता है?

3) x किस मान पर भिन्न भिन्नों के अंतर से अधिक होता है?

4) x किस मान पर और भिन्नों का योग भिन्न से छोटा होता है?

असमानता को हल करें

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

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विषय 16: असमानताओं का समाधान प्रणाली।

अंक 1। असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

(1)

पहली असमानता को हल करें:

इस प्रकार, पहली असमानता xनिष्पादित जब> 2.

दूसरी असमानता को हल करें:

इस प्रकार, (1) प्रणाली की दूसरी असमानता है xनिष्पादित जब> -3।

संख्या अक्ष पर (1) हम प्रणाली की पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान के सेट का वर्णन करते हैं।

पहली असमानता के समाधान x> 2 सभी प्रकाश बिंदु हैं, दूसरी असमानता के समाधान solutions x> -3 सभी प्रकाश बिंदु हैं

(1) सिस्टम समाधान system x एक ही समय में दोनों किरणों के अनुरूप मान रखते हैं। जैसा कि आप चित्र से देख सकते हैं, यह किरणों के सभी उभयनिष्ठ बिंदुओं का समुच्चय है x> 2 लाइटें होंगी।

उत्तर। x> 2.

असमानताओं की प्रणाली के समाधान के साथ सभी पूर्णांक खोजें:

१) २) ३) ४)

 

तालिकाओं की स्थिति के अनुरूप एक असमानता बनाएँ और इसे हल करें।

1) x के किन मूल्यों पर y= 0,5x+2 और y= 3-3x कार्यों के मूल्य एक साथ हैं: 1) सकारात्मक; 2) नकारात्मक; 3) 3 और पुराने; 4) 3 से कम है?

2) x के किन मूल्यों पर y=x-2 जा रहा है y= 0,5xकार्यों के मान +1 एक साथ हैं: 1) नकारात्मक; 2) नामांकित; 3) 4 से कम नहीं; 4) 4 से बड़ा नहीं है?

3) त्रिभुज की एक भुजा 5 मी और दूसरी भुजा 8 मी है। एक त्रिभुज का परिमाप है: 1) 22 मीटर से कम; 2) यदि यह 17 मीटर से अधिक है, तो इसकी तीसरी भुजा क्या हो सकती है?

4) यदि किसी पूर्णांक का कोई भाग उसका भाग होता है, तो 29 से बड़ी संख्या बनती है, यदि उसी संख्या के भाग को घटाया जाए, तो 29 से छोटी संख्या बनती है। यह पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।

5) यदि किसी पूर्णांक के आधे को दोगुना कर दिया जाए, तो 92 से छोटी संख्या बनती है, उसी पूर्णांक के आधे को दोगुना करने पर 53 से बड़ी संख्या बनती है। यह पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।

 

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विषय 17: सबसे बड़ा सामान्य भाजक (EKUB)

यदि, EKUB (a, b) = 1, संख्या a vab परस्पर अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

उदाहरण के लिए: (1; 2), (2; 3), (15; 28), (10; 21) इत्यादि

  1. यदि a = 2² 5² ∙ 7 और b = 2 5³ ∙ 11, तो EKUB (a, b) ज्ञात कीजिए।

हल: ईकेयूबी (ए, बी) = 2 5² = 50

  1. ईकेयूबी (345, 285, 315) खोजें।

हल: संख्या 345, 285, 315 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें। ३४५ = ३ ५ २३; २८५ = ३ ५ १९; ३१५ = ३² ५ ∙ ७ → ईकेयूबी (३४५,२८५,३१५) = ३ ५ = १५

आइए संख्या 24 और 90 के सभी भाजक लिखें:

संख्या 24 और 90 के सार्व भाजक हैं: 1, 2, 3, 6। इनमें से सबसे बड़ा सामान्य भाजक है: 6.

संख्या 6 को संख्या 24 और 90 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है।

प्राकृत संख्याओं m और n का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक इस प्रकार परिभाषित किया गया है: EKUB (m, n)।

इसलिए,।

1-उदाहरण के लिए। ईकेयूबी (८४, ९६) खोजें।

समाधान। .

2-उदाहरण के लिए। ईकेयूबी (८४, ९६) खोजें।

समाधान।

संख्या 15 और 46 में कोई उभयनिष्ठ अभाज्य भाजक नहीं है। ऐसे मामलों में, दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 होता है। तो संख्या 15 और 46 के लिए।

1. गणित प्रतियोगिता के विजेताओं को नोटबुक और पेन से सम्मानित किया जाएगा 42 नोटबुक और 30 पेन में से प्रत्येक विजेता को कितनी नोटबुक और पेन दिए जाएंगे? विजेताओं की अधिकतम संख्या क्या है?

हल: हम 42 और 30 के उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करते हैं।

वे हैं: 1,2,3,6, इसलिए विजेताओं की संख्या समान हो सकती है। सबसे बड़ा 6 J: 6 है।

  1. EKUB (720, 540) =?

हल: 720 = 2 3² 5 और 540 = 2² 3³ 5

EKUB (720,540) = 2² 3² ∙ 5 = 180 उत्तर: 180

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विषय १८: लघु सामान्य त्रैमासिक

गणित प्रतियोगिता के विजेताओं को नोटबुक और पेन से सम्मानित किया जाएगा।42 नोटबुक और 30 पेन में से प्रत्येक विजेता को कितनी नोटबुक और पेन दिए जाएंगे? विजेताओं की अधिकतम संख्या क्या है?

हल: हम 42 और 30 के उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करते हैं।

वे हैं: 1,2,3,6, इसलिए विजेताओं की संख्या समान हो सकती है। सबसे बड़ा 6 J: 6 है।

  1. EKUB (720, 540) =?

हल: 720 = 2 3² 5 और 540 = 2² 3³ 5

EKUB (720,540) = 2² 3² ∙ 5 = 180 उत्तर: 180

आइए 36 और 48 के गुणज लिखें:

इन संख्याओं में वे संख्याएँ हैं जो दोनों पंक्तियों के लिए समान हैं:

144, 288, 432, ...

वे 36 और 48 के सामान्य गुणज हैं।

36 और 48 से विभाज्य संख्याओं का सार्व गुणज है: जहाँ k एक मनमाना प्राकृत संख्या है।

लेकिन 144 संख्या 36 और 48 से गुणा की गई सभी संख्याओं में सबसे छोटी है। हम संख्या 144 को संख्या 36 और 48 का सबसे छोटा सामान्य गुणक (भाजक) कहते हैं।

इसलिए, ईकेयूके (36, 48) = 144।

ईकेयूके खोजने के दो तरीके यहां दिए गए हैं।

1-उदाहरण के लिए। चलो EKUK (15, 12) मिल जाए।

विधि १ संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या 1 है। आइए इसके गुणज लिखें और पता करें कि वे 15 से विभाज्य हैं या नहीं:

संख्या 12 से विभाज्य नहीं है, संख्या 12 से विभाज्य नहीं है, संख्या 12 से विभाज्य नहीं है, संख्या 12 से विभाज्य है।

इसलिए, ईकेयूके (15, 12) = 60।

विधि 2 संख्या 15 और 12 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:

तथा।

संख्या EKUK (15, 12) एक संख्या है जो 15 और 12 दोनों से विभाज्य है। इसलिए, संख्या 15 और 12 के सभी गैर-सामान्य गुणक भी इसके प्रसार में शामिल हैं। सामान्य अभाज्य गुणक एक से लिए जाते हैं।

इसलिए,।

उदाहरण 2 चलो EKUK (20, 33) पाया जाता है।

और -सापेक्ष अभाज्य संख्याएँ, उनके पास कोई उभयनिष्ठ अभाज्य भाजक नहीं है।

उस मामले में, यह होगा

  1. 48 और 60 का ECU ज्ञात कीजिए।

हल: 48 = 2 24 = 2 3 60 = 15 ∙ 4 = 2² 3 ∙ 5

EKUK(48,60)=2∙ 3 ∙5=16 ∙15=240

  1. संख्या 24,35, 74 और XNUMX . का ECU ज्ञात कीजिए

हल: 24 = 3 ∙ 8 = 2³ 3 35 = 5 ∙ 7 74 = 37 ∙ 2

EKUK (२४, ३५, ७४) = २∙ ३ ∙ ५ ७ ३७ = ३१०८०

क) वे 4 मीटर या 5 मीटर से कपड़ा बेचना चाहते हैं। क्लॉटिंग को रोकने के लिए कम से कम कितने मीटर कपड़ा होना चाहिए?

हल: हमें एक ऐसी संख्या की तलाश करनी है जो 4 और 5 से विभाज्य हो।

यह 4 और 5 की एकुकी है। ईकेयूके (4, 5) = 20

उत्तर: 20 मीटर

b) दो संख्याओं का गुणनफल 294 है, और ul का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 7 है। इन नंबरों के लिए ईकेयूके खोजें।

हल: चूँकि EKUB (a, b) EKUK (a, b) = ab EKUK = 294: 7 = 42

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विषय 19:   दो संख्याएँ उनका योग और भाग होती हैं  (अनुपात)  पर खोजें।

मूल मुद्दा. दोनों संख्याओं का योग 200 है। एक संख्या दूसरी से 3 गुना बड़ी है, ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल: छोटी संख्या 1 भाग बड़ी संख्या 3 भाग कुल 4 भाग

एक छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 200 को 4 से भाग देते हैं; प्राप्त विभाजन को 3 से गुणा करें; हम एक बड़ी संख्या पाते हैं।

हम दोनों नंबरों को चेक करने के लिए जोड़ते हैं

  • 200: 4 = 50;
  • ५० ३ = १५०;

नियंत्रण: ५० + १५० = २००

अंक २. यदि शेष दिन पहले की तुलना में पांच गुना अधिक है, तो अब कितना समय है?

हल: योग 24 है और भाग 5 है। इसका अर्थ है कि दिन का पिछला भाग घंटे के बराबर होता है और शेष घंटे के बराबर होता है।

अंक २. माता की आयु पुत्री की आयु की तीन गुनी है, और पिता की आयु माता और पुत्री की आयु के समान है, यदि तीनों की आयु का योग चार के योग के बराबर हो तो , उनमें से प्रत्येक कितने साल के हैं?

हल: सभी की एक साथ आयु: 100 + 4 = 104 वर्ष। माता को तीन भाग, पुत्री को एक भाग और पिता को 3 + 1 = 4 भाग मिलते हैं। ये सभी टुकड़े 3 + 1 + 4 = 8 थे।

तो, बेटी की उम्र: दा; माँ की उम्र; पिता जी

साल पुराना। निम्नलिखित समस्याओं को उसी तरह हल किया जा सकता है।

अंक २. दो संख्याओं का योग 410 है, और जब कोई बड़ी संख्या छोटी संख्या होती है, तो उसे 7 से गुणा किया जाता है और 10 से गुणा किया जाता है। इन नंबरों को खोजें।

अंक २. दो संख्याओं का भाग 3 है और शेषफल 10 है। यदि भाजक, भाजक, भाजक और शेष जोड़ दिया जाए, तो यह 143 होता है। भाजक और भाजक ज्ञात कीजिए।

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विषय २०: दो संख्याओं का अंतर और भाग (अनुपात) पर खोजने के लिए।

मूल तत्व: पिता पुत्र से तीन गुना बड़ा है। यदि एक पिता 24 वर्ष की आयु में पुत्र को जन्म देता है, तो उनमें से प्रत्येक की आयु कितनी है?

यदि हम पिता की आयु की संख्या में से पुत्र की आयु का 1/3 घटा दें, तो पिता की आयु का 2/3 शेष रह जाता है, जो 24 वर्ष है। हम संख्या के अंश से पूरी संख्या पाते हैं: आयु।

अंक २. मेरे भाई और बहन के पास पैसे थे। यदि कोई भाई अपनी बहन को 24 रूबल देता है, तो उनका पैसा एक-दूसरे के बराबर होगा, यदि एक बहन अपने भाई को 27 रूबल देती है, तो उसके भाई का पैसा उसकी बहन के पैसे से दोगुना होगा। उनमें से प्रत्येक के पास कितना पैसा था?

हल: 1) उसके भाई के पास अपनी बहन से 48 सौ अधिक हैं so

२) यदि एक बहन अपने भाई को २७ सौम देती है, तो अंतर बढ़कर ५४ सौम हो जाता है और १०२ सौम (४८ + ५४) हो जाता है;

3) उस समय उसके भाई के पास उसकी बहन से दुगना पैसा था। अंतर और अनुपात के आधार पर हम निर्धारित करते हैं कि एक बहन के पास कितना पैसा होना चाहिए: soums;

4) भाई को 27 सूम देने के बाद उसकी बहन के पास 102 सूम बचे हैं तो, इससे पहले उसके पास 129 सोम्स (102 + 27) थे;

५) उसके भाई के पास ४८ से अधिक सूम थे। तो, उनके भाई के पास 5 + 48 = 129 सूम थे।

अंक २.  एक लड़के ने दूसरे से कहा, "मुझे एक सेब दो, और मेरे पास तुमसे दुगना होगा।" दूसरे ने उत्तर दिया, "नहीं, तुम मुझे एक सेब दो, और हमारे पास दो होंगे।" उनमें से प्रत्येक के पास कितने सेब थे?

हल: १) दूसरे बच्चे के शब्दों से स्पष्ट है कि उसका सेब पहले बच्चे के सेब से दो गुना छोटा है।

2) यदि दूसरे बच्चे ने पहले को दूसरा सेब दिया, तो अंतर दो और होगा और 4 के बराबर होगा।

यदि दूसरे बच्चे ने पहले बच्चे को एक सेब दिया, तो उसके पास एक सेब होगा। तो उसका सेब 4 + 1 = 5 है। पहला 5 + 2 = 7 है।

निम्नलिखित मुद्दों को भी इस तरह हल किया जा सकता है।

अंक २. रेलवे स्टेशन पर दो मालगाड़ियां हैं। (सभी वैगन समान लंबाई के होते हैं) एक काफिले में वैगनों की संख्या दूसरे काफिले में 12 से अधिक होती है; दो ट्रेनों में से प्रत्येक से 4 वैगन अलग करने के बाद, पहली ट्रेन दूसरी ट्रेन से दोगुनी लंबी थी। प्रत्येक ट्रेन में कितनी कारें थीं?

अंक २. जब लड़के से पूछा गया कि उसके कितने भाई और कितनी बहनें हैं, तो उसने उत्तर दिया, "मेरे जितने अधिक भाई हैं, उतनी ही बहनें हैं।" जब उसकी बहन से पूछा गया कि उसके कितने भाई-बहन हैं, तो उसने जवाब दिया, "मेरी बहनें मेरे भाइयों से दोगुनी हैं।" संभव है कि?

 

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विषय २१: दो संख्याओं को उनके योग और अंतर का उपयोग करके ढूँढना

मूल समस्या यह है कि यदि दो संख्याओं का योग 1000 है और इन संख्याओं के बीच का अंतर 292 है, तो ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

चूंकि एक बड़ी संख्या एक छोटी संख्या + एक अंतर है, इसलिए दो संख्याओं के योग को छोटी संख्या के दोगुने होने के अंतर के योग के रूप में माना जा सकता है।

दो संख्याओं के योग में से अंतर घटाने पर हमें एक छोटी संख्या का दोगुना प्राप्त होता है। यदि हम अंतर को योग में जोड़ दें, तो हमें बड़ी संख्या का दोगुना प्राप्त होता है।

 

विधि १: १) १००० - २९२ = ७०८

२) ७०८: २ = ३५४ (छोटी संख्या)

3) ३५४ + २९२ = ६४६ (बड़ी संख्या)

जाँच करें: ३५४ + ६४६ = १०००।

विधि १: १) १००० + २९२ = १२९२ २) १२९२: २ = ६४६ (बड़ी संख्या)

3) ६४६ - २९२ = ३५४ (छोटी संख्या) चेक: ३५४ + ६४६ = १०००।

अंक २. आलू के तीन बोरे का वजन 156 किलो है। पहला बैग दूसरे से 18 किलो भारी है, और दूसरा तीसरे से 15 किलो हल्का है। प्रत्येक बैग में कितने आलू हैं?

1) (किलो) 2) (किलो)

3) (किलो) चेक: 59 + 41 + 56 = 156 (किलो)

अंक २. जब बेटी का जन्म हुआ तब मां 32 वर्ष की थी और बेटे के जन्म के समय 35 वर्ष की थी। यदि तीनों की आयु 59 वर्ष है, तो अब प्रत्येक की आयु कितनी है?

हल: सबसे छोटा उसका पुत्र है। उसकी बहन उससे बड़ी है (35-32)। मां अपने बेटे से 35 साल बड़ी हैं। बेटा बूढ़ा है। उनकी बेटी 10 साल की है। उनकी मां 42 साल की हैं।

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विषय 22:गति का पता लगाने की समस्याओं को हल करें।

 

प्राथमिक बात। जहाज धारा में 20 किमी प्रति घंटे की गति से और धारा के विपरीत 15 किमी प्रति घंटे की गति से यात्रा कर रहा था। पानी का वेग ज्ञात कीजिए।

हल: धारा के अनुदिश जहाज की गति जहाज की गति और धारा की गति के योग के बराबर होती है; और वेग के रूप में यह धारा के विरुद्ध यात्रा करता है अंतर के बराबर है। यह देखा जा सकता है कि धारा में जहाज की गति और धारा के विरुद्ध गति के बीच का अंतर धारा की दुगनी गति के बराबर है।

इसका मतलब है कि पानी की गति किमी है।

अंक २. नाव 7 किमी प्रति घंटे की रफ्तार से तैर सकती है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी को तैरने में धारा के विपरीत तैरने में जितना समय लगता है, उससे कम समय लगता है। जल प्रवाह का वेग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

 

नाव 1 घंटे के लिए धारा में MC की यात्रा कर सकती है, जिसमें DC = 7 किमी नाव की गति है, और MD नाव की गति है। इसी तरह, दूरी AB, नाव वामावर्त यात्रा करती है। यदि कोई करंट नहीं होता, तो यह प्रति घंटे की तुलना में AN = किमी अधिक दूरी तय करता। नाव इस दूरी को 1 घंटे में अपनी गति (सीडी = बीडी = 7 किमी) और पानी के प्रवाह के कारण प्रति घंटे (एमडी = एडी और बीएन = एडी) के कारण तय कर सकती है। इसका मतलब है कि प्रति घंटे जल प्रवाह की गति है: किमी, यानी प्रति घंटे की गति किमी है।

निम्नलिखित मुद्दों को एक ही प्रकार में शामिल किया जा सकता है।

अंक २. पानी 3 किमी प्रति घंटे की गति से बहता है; एक नाव को पानी की धारा के साथ एक निश्चित दूरी तय करने में धारा के विपरीत तैरने की तुलना में 3 गुना कम समय लगता है। शांत जल में नाव की चाल ज्ञात कीजिए।

अंक २. जैसे-जैसे नाव धारा के साथ-साथ चलती थी, वह एक घंटे में दो बिंदुओं के बीच से गुज़रती थी। वापस जाते समय उसने यह दूरी 6 घंटे में तय की। फेंकी गई लकड़ी को धारा के साथ इतनी दूरी तय करने में कितना समय लगा?

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विषय 23: कार्रवाई के मुद्दों को पूरा करना।

 

प्राथमिक बात। गांव से शहर की दूरी 45 किमी है। उसी समय, एक दूसरे का सामना करते हुए, एक पैदल यात्री और एक साइकिल सवार निकल गए। एक पैदल यात्री की गति 5 किमी प्रति घंटा है, और एक साइकिल चालक की गति 10 किमी है। वे कब तक मिलेंगे?

समाधान:

पैदल यात्री और साइकिल चालक के बीच की दूरी प्रति घंटे 10 + 5 (किमी) कम हो जाती है। एक पैदल यात्री और एक साइकिल चालक की गति का योग उनके 45 किमी: घंटे में मिलने की संख्या है। उत्तर: वे 3 घंटे में मिलेंगे।

अंक २. एक ट्रेन दूसरी दिशा से आ रही ट्रेन से गुजर रही है; पहला 50 किमी प्रति घंटे की गति से चल रहा है और दूसरा 58 किमी की गति से आगे बढ़ रहा है। पहली ट्रेन के एक यात्री ने दूसरी ट्रेन को 10 सेकंड में पास होते देखा। दूसरी ट्रेन की लंबाई पाएं।

समाधान। दूसरी ट्रेन ने पर्यवेक्षक को पहली ट्रेन पर दोनों ट्रेनों की गति के योग के बराबर गति से 10 सेकंड के लिए पार किया। तो दूसरी ट्रेन की लंबाई

 

उत्तर: दूसरी ट्रेन की लंबाई 300 मीटर है।

अंक २. कोकंद से मार्गिलान की दूरी 75 किमी है। सुबह नौ बजे साइकिल सवार कोकंद से रवाना हुआ। सुबह 9:9 बजे, दूसरा साइकिल चालक मार्गिलन से रवाना हुआ और एक किलोमीटर प्रति घंटे से भी कम की यात्रा की। साइकिल सवार दोपहर में मिले, वे मार्गिलान से कितनी दूर मिले, उनमें से प्रत्येक कितने किलोमीटर चलकर आया, पहला मार्गिलन कब पहुंचा?

हल: दूसरे साइकिल चालक ने पहले की तुलना में एक किलोमीटर प्रति घंटे से कम की यात्रा की। बैठक के समय तक वह घंटों टहल रहे थे। यदि पहला साइकिल चालक दूसरे के समान गति से चल रहा था, तो वह 3 घंटे से कम चल रहा होगा। इसका मतलब है कि अगर दोनों साइकिल चालक दूसरे साइकिल चालक के समान गति से चल रहे होते, तो वे सड़क पार कर जाते। यह इस प्रकार है कि दूसरे साइकिल चालक की गति किमी/घंटा है। बैठक मार्गिलान से 30 किमी दूर थी। पहले साइकिल चालक की गति किमी/घंटा थी, और वह बैठक के 2 घंटे बाद (30:15 = 2), यानी दोपहर 2 बजे मार्गिलन पहुंचे।

 

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विषय 24: कार्रवाई का पीछा करना।

प्राथमिक पदार्थ. पिता ने अपने बेटे को शहर से किताबें लाने के लिए भेजा। लेकिन वह यह बताना भूल गए कि कौन सी किताबें लानी हैं। 3 घंटे बाद साइकिल से उनका पीछा किया गया। यदि पुत्र 5 किमी प्रति घंटे की यात्रा करता है और पिता 8 किमी प्रति घंटे की यात्रा करता है, तो पिता कितने घंटे में पुत्र का पीछा करेगा?

समाधान: बेटा तीन घंटे में 15 किमी () चला, और पिता हर घंटे तीन किमी (8-5 = 3) से अधिक चला। उसके पिता को अतिरिक्त 15 किमी, यानी एक घंटा तय करने में 5 घंटे (15:3 = 5) का समय लगेगा।

अंक २. कुत्ता लोमड़ी का पीछा कर रहा है, लेकिन उनके बीच की दूरी उतनी ही है जितनी दूरी कुत्ता सौ बार कूदता है। जब एक कुत्ता तीन बार कूदता है, तो एक लोमड़ी 5 बार कूदती है, लेकिन लंबाई के मामले में, एक कुत्ता छह बार कूदता है, एक लोमड़ी 11 बार कूदता है। एक कुत्ता कितनी छलांग लगा सकता है?

ध्यान दें: इस समस्या की कठिनाई यह है कि समय और दूरी दोनों को एक ही मात्रक अर्थात छलांग में व्यक्त किया जाता है। इन अवधारणाओं को प्रतिस्थापित करना बेकार है। कुत्ते की छलांग को लोमड़ी की छलांग में बदलने और इसके विपरीत करने की आवश्यकता से यह कठिनाई और जटिल हो जाती है।

अब देखते हैं कि समस्या का समाधान कैसे होता है।

समाधान: १) लोमड़ी जब ५ बार कूदती है तो कुत्ता तीन बार कूदता है।

इसलिए जब एक कुत्ता छह बार कूदता है, तो एक लोमड़ी 10 बार कूदती है।

  • एक कुत्ता 6 बार कूदता है, वह लोमड़ी की लंबाई में 11 बार कूदने के बराबर है। यानी जब कुत्ता 6 बार कूदता है, तो वह एक छलांग (लंबाई के संदर्भ में) की मात्रा में लोमड़ी के पास पहुंचता है।
  • एक लोमड़ी की 11 छलांग कुत्ते की 6 अनुदैर्ध्य छलांग के बराबर होती है। तो लोमड़ी की एक छलांग कुत्ते की लंबी छलांग के बराबर होती है।
  • कुत्ता 6 छलांग में अपनी छलांग के हिस्से के रूप में लोमड़ी के पास पहुंचता है, और उसकी छलांग के हिस्से के जितना करीब होता है
  • यह पता लगाने के लिए कि एक कुत्ता एक लोमड़ी तक कितना पहुँच सकता है जब वह कूदता है, कुत्ते की 100 छलांग को कुत्ते की छलांग से विभाजित करें, ताकि कूद में पूछे गए प्रश्न का उत्तर हो

इस समाधान के लिए अलग-अलग विकल्प हो सकते हैं। ये उनमे से कुछ है। विकल्प 1. अपनी 6 छलांगों में कुत्ता एक छलांग की मात्रा में लोमड़ी के पास पहुंचता है, यानी कुत्ता एक छलांग में लोमड़ी के पास पहुंचता है। आइए 100 डॉग जंप को फॉक्स जंप में बदल दें: और वह है 1100 डॉग जंप।

विकल्प 2. कुत्ते और लोमड़ी दोनों की गति एक ही समय () में होने वाली छलांग के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात कुत्ते की गति लोमड़ी की गति के समानुपाती होती है। इसका मतलब यह है कि कुत्ता हर बार छलांग लगाने पर लोमड़ी के करीब पहुंच जाता है, छलांग में लोमड़ी का पीछा करता है।

विकल्प 3. १) कुत्ता छह छलांग में लोमड़ी के पास पहुंचता है, जिसका आकार एक छलांग है।

२) कुत्ता ६६ छलांगों में ११ छलांग से ज्यादा रास्ता () पार करता है।

3) लोमड़ी की दो छलांग कुत्ते की 6 छलांग के बराबर होती है। इसका मतलब है कि कुत्ता अपनी 66 छलांगों में लोमड़ी से 6 गुना ज्यादा यात्रा करता है।

4) कुत्ता दो छलांगों की मात्रा में एक छलांग में लोमड़ी के पास पहुंचता है।

5) कुत्ता 1100 छलांग लगाकर लोमड़ी का पीछा करता है।

अंक २. पैदल यात्री A से B तक चला। 12 घंटे के बाद, कार A से B तक चली। एक कार पैदल चलने वालों की तुलना में 5 गुना तेज यात्रा करती है। कार कितने घंटे में पैदल यात्री को पकड़ लेगी?

हल: एक पैदल यात्री 12 घंटे में सड़क पर चलता है, एक कार 5 गुना कम समय में, यानी एक घंटे में। यह मानते हुए कि कार की गति 1 है और पैदल यात्री की गति, कार हर घंटे अपनी गति से पैदल यात्री के पास पहुंच रही है। यदि हम एक पैदल यात्री की दूरी को कार की गति से 12 घंटे में व्यक्त करते हैं, तो यह बराबर है, और कार पैदल चलने वाले के चलने के 3 घंटे बाद, या चलने के 15 घंटे बाद (12 + 3 = 15) के बराबर होती है। .

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विषय 25: एक मात्रा को दूसरी मात्रा से बदलना।

प्राथमिक पदार्थ. 8 मीटर साटन और 5 मीटर चिट की कीमत 835 सॉम्स है। यदि एक मीटर साटन, 1 मीटर चिट से 28 सौम अधिक महंगा है, तो साटन और चिट के प्रत्येक मीटर की लागत कितनी है?

समाधान:  १) अगर हम साटन के ८ मीटर के बजाय ८ मीटर साटन खरीदते हैं, तो यह साटन के प्रत्येक मीटर के लिए २८ सॉम्स बचाए जाएंगे, और कुल यूजेडएस, यानी ८३५-२२४ = ६११ सॉम्स होगा।

२) १३ मीटर (८ + ५ = १३) बाड़ की लागत ६११ सौम होगी, और १ मीटर की बाड़ की लागत ६११: १३ = ४७ सौम होगी।

3) एक मीटर साटन की कीमत 28 सॉम्स प्रति मीटर है, यानी एक मीटर साटन की कीमत 47 + 28 = 75 सॉम्स है।

आइए अधिक जटिल समस्याओं को हल करने पर ध्यान दें।

अंक २. सूखे खुबानी की लकड़ी का घन मीटर और सूखा स्प्रूस का घन मीटर है, और एक घन मीटर सूखी खुबानी एक घन मीटर स्प्रूस से भारी है। एक देवदार के पेड़ और एक घन मीटर स्प्रूस का वजन क्या है?

समाधान: 1) स्प्रूस को खुबानी की लकड़ी से बदलें। अगर खुबानी स्प्रूस से कई गुना भारी है, तो खुबानी के पेड़ का आयतन, जिसका वजन स्प्रूस के वजन के बराबर होता है, स्प्रूस के आयतन का हिस्सा होता है, यानी क्यूबिक मीटर लाडी।

2) क्यूबिक मीटर और क्यूबिक मीटर एप्रिकॉट वुड टी आते हैं, और एक क्यूबिक मीटर एप्रिकॉट वुड टी और एक क्यूबिक मीटर स्प्रूस टी आता है।

अंक २. 32 मीटर चिट, 40 मीटर सैटिन, 25 सूम 4998 सूम में बिके। यदि एक मीटर सूत एक मीटर चिट से 2.4 गुना अधिक महंगा है, और एक मीटर साटन एक मीटर सूत से 1.44 गुना सस्ता है, तो प्रत्येक मीटर चिट, साटन और सूत की लागत कितनी है?

समाधान: 1) स्क्रू को चिट से बदलें। स्विंग बाड़ की तुलना में 2.4 गुना अधिक महंगा है, जिसका अर्थ है कि 25 मीटर स्विंग के बजाय आप 2.4 गुना अधिक स्विच प्राप्त कर सकते हैं (आप 25 मीटर स्विंग के लिए भुगतान किए गए पैसे के लिए 2.4 गुना अधिक स्विच प्राप्त कर सकते हैं), यानी।

2) पहले सिलाई पर साटन को बदलें, फिर किनारे पर। सरुप की तुलना में साटन 1.44 गुना सस्ता है। तो, 40 मीटर साटन के लिए भुगतान किए गए पैसे के लिए 1.44 गुना कम खरीदना संभव है, यानी 40 मीटर: 1.44 = मी। ड्राइव के लिए भुगतान किए गए पैसे से 2.4 गुना अधिक के लिए बाड़ खरीदना संभव है।

३) ४९९८ सॉम्स के लिए आप कुल मिलाकर एक बाड़ खरीद सकते हैं, इसलिए एक मीटर बाड़ की लागत एक मीटर है, एक मीटर साटन की लागत ७५ एस है। 3 टी: 4998 = 75 एस। इसकी कीमत 60 टन है।

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विषय 26: आप नंबर इतिहास

यह नंबर हाल ही में सामने आया है। इसे कभी-कभी "नेपर नंबर" कहा जाता है और यह स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपेरा (1550-1617) के नाम से जुड़ा है, जो निराधार है क्योंकि नेपर ye सुनिश्चित नहीं हैं कि आपको संख्या के बारे में स्पष्ट जानकारी है या नहीं। «ye»पदनाम लियोनार्ड यूलर (1707-1783) द्वारा पेश किया गया था। ye की अनंत श्रृंखला अभिव्यक्ति का उपयोग करके 23 संख्याएं पाईं। »1873 में, हर्मिट ने साबित किया कि आप एक पारलौकिक संख्या थे। एल.एयलर ये वा   के बीच एक अद्भुत संबंध पाया। ye आधार पर लघुगणक पर विचार किया जाता है और एलएनएक्स परिभाषित किया जाता है

हाँपल के दशमलव अंक

e = २.७१८२८१ ८२८४५९०४५२ 2.718281

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विषय 27: डेटा को बराबर करें और इसमें से एक घटाएं।

 

         प्राथमिक पदार्थ. 400 ग्राम कैंडी के साथ एक किलो बिस्कुट के लिए 144 सूम का भुगतान किया गया। एक अन्य खरीद में, वही 600 ग्राम कैंडी को 136 सॉम्स प्रति किलो ओवन का भुगतान किया गया था। एक किलो कैंडी और एक किलो बिस्कुट कितने का होता है?

समाधान:  1) आइए दी गई दो मात्राओं में से एक की बराबरी करें: 1200 ग्राम कैंडी की कीमत 432 सूप प्रति किलोग्राम बिस्कुट, 1200 किलोग्राम बिस्कुट के साथ 2 ग्राम कैंडी की कीमत 272 सूप है।

2) इसका मतलब है कि कैंडी और बिस्कुट की कीमत (432-272 = 160 सॉम्स) के बीच का अंतर केवल खरीदे गए बिस्कुट की मात्रा के बीच के अंतर पर निर्भर करता है।

3) बिस्कुट का मूल्य ज्ञात कीजिए। सोम

४) एक किलो बिस्किट की कीमत ६४ सौम, ६०० ग्राम (दूसरी खरीद में) की कीमत १३६-६४ = ७२ सौम और एक किलो कैंडी की कीमत एक सौम है।

अंक २. 4365 किलो चावल दो दुकानों में पहुँचाया गया: चावल का एक हिस्सा एक दुकान में पहुँचाया गया और एक किलो चावल दूसरे स्टोर में पहुँचाया गया। प्रत्येक दुकान पर कितना चावल पहुंचाया जाता है?

समाधान: स्टोर I स्टोर II में सूचीबद्ध है

सभी पहली पंक्ति से

दूसरे चावल अलग करते हैं

पिछली पंक्ति का आधा

अंतिम दो पंक्तियाँ

योग

दूसरी पंक्ति से आखिरी वाला

हम अलग

तो, चावल दूसरी दुकान पर लाया:

५०६ किग्रा: = १५१८ किग्रा

पहली दुकान में लाया गया चावल है:

4365 किग्रा - 1518 किग्रा = 2847 किग्रा

अंक २. धनुष में तीन बैंकनोट और 5 सौम के 50 बैंकनोट हैं। यदि यह तीन सौ से दो गुना कम और पांच सौ से तीन गुना कम होता, तो दोनों प्रकार के धन की संख्या 5 होती। आपकी जेब में कितना पैसा है?

हल: भिन्नों को रोकने के लिए, हम दूसरी शर्त के अनुसार समस्या का समाधान करते हैं (जेब में 19 बैंक नोट हैं; यदि हम तीन सॉम्स की संख्या को दोगुना और 5 सॉम्स की संख्या को तीन गुना करते हैं, तो बैंक नोटों की संख्या 52 लाडी होगी ), तो समस्या इस प्रकार हल हो जाती है:

३ सोम की संख्या + ५ सोम की संख्या = १९;

३ सोम की दुगनी संख्या + ५ सोम की दुगनी संख्या = ३८;

३ सॉम्स की डबल संख्या + ५ सॉम्स की ट्रिपल संख्या = ५०।

पिछले दो समीकरणों की तुलना करते हुए, हम पाते हैं कि पहले मामले में 5 योग 50-38 = 12 हैं, लेकिन यह जेब में जो है उसका 1/3 है, इसलिए 5 योग 123 = 36 है; 3 सोम 50-36 = 14 थे।

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विषय 28: सहयोगात्मक कार्य।

प्राथमिक पदार्थ. एक कार्यकर्ता एक घंटे में एक काम पूरा करता है, और दूसरा 5 घंटे में। दोनों कर्मचारी कार्य को कितने घंटे में पूरा करेंगे?

समाधान: 1) पहले कार्यकर्ता ने एक घंटे में सारा काम किया, और एक घंटे में एक बार से भी कम, यानी काम का हिस्सा।

2) दूसरा कार्यकर्ता एक घंटे में काम का हिस्सा करता है।

3) जब दोनों एक साथ काम करते हैं, तो वे एक घंटे में काम का हिस्सा करते हैं।

4) और सभी 3 घंटे (1: 1/3 = 3) में काम खत्म करते हैं।

अंक २. पंप प्रति घंटे पूल में 900 लीटर पानी पहुंचाता है। जब पंप लगातार चल रहा होता है, तो सारा पानी पहले पाइप से 12 घंटे में और दूसरे से 10.5 घंटे में बह जाता है। जब पंप और पाइप दोनों को चालू किया गया, तो 5 घंटे में पूल को खाली कर दिया गया। पूल के आकार का पता लगाएं।

समाधान: 1) पहले पाइप के माध्यम से पूर्ण पूल का हिस्सा और 900 लीटर पंप पानी प्रति घंटे प्रवाहित होता है, और पूर्ण पूल का हिस्सा और 900 लीटर पंप पानी दूसरे पाइप से बहता है।

2) 900 लीटर2 = 1800 लीटर पानी की आपूर्ति पूरे पूल के एक हिस्से और दोनों पाइपों के माध्यम से प्रति घंटे पंप द्वारा की जाती है; 5 घंटे पर पूरे पूल का हिस्सा और पंप द्वारा आपूर्ति किया गया 1800 = 9000 लीटर पानी बह जाएगा।

3) पंप से 5 घंटे में 4500 लीटर पानी आता है। इसका मतलब है कि 5 घंटे में दोनों पाइपों से पानी का एक पूरा पूल और 4500 लीटर पानी बहता है; यह 9000 लीटर है, जो पूल का हिस्सा है, यानी 4500 लीटर, जो पूल का हिस्सा है।

४) अब हम संख्या के अंश से कुल संख्या ज्ञात करते हैं: पूल की मात्रा ४५०० लीटर: = ४२००० लीटर है।

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विषय 29: दिए गए गुणकों की सहायता से दो गुणक ज्ञात करना और जब उनके गुणनफल बराबर हों तो उनके अंतर।

         प्राथमिक पदार्थ. कुछ मुर्गियाँ और कुछ गीज़ उतने ही पैसे में खरीदे गए, लेकिन गीज़ से 20 मुर्गियाँ अधिक खरीदी गईं। एक हंस की कीमत 126 सूम और एक मुर्गे की कीमत 70 सौम होती है। कितने गीज़ और कितने मुर्गियाँ खरीदी गईं?

समाधान: १) २० से अधिक मुर्गियों की कीमत १४०० सूम (७० २० = १४०० सौम) है। यह पैसा कैसे आया? एक मुर्गी और एक हंस खरीदते समय, एक हंस की तुलना में 1 सौम (20 सौम - 1400 सौम = 70 सौम) प्रति मुर्गी कम खर्च किए गए। दूसरी मुर्गी और हंस खरीदते समय इतनी ही बचत की गई। इसलिए, १४०० की फसल से पहले, उन्होंने वही अर्थव्यवस्था रखी और १४०० सूम के लिए २० अतिरिक्त मुर्गियां खरीदीं।

२) तो १४००: ५६ = २५। जितने अधिक गीज़ खरीदे जाते हैं, उतने ही १४०० सॉम्स में ५६ सॉम्स होते हैं। इस प्रकार, २५ गीज़ खरीदे जाते हैं, और मुर्गियाँ खरीदी जाती हैं, २० से अधिक ४५ मुर्गियाँ प्राप्त होती हैं।

एक जटिल मामला। ट्रेन ने दोनों स्टेशनों के बीच की दूरी 2 दिनों में तय की, हर दिन 3 घंटे की यात्रा की। यदि एक ट्रेन प्रतिदिन 18 घंटे 22 मिनट की यात्रा करती है और 30 किमी प्रति घंटे से अधिक की यात्रा करती है, तो इस दूरी को तय करने में कितने दिन लगेंगे?

समाधान। 1) सामान्य ट्रेन यात्रा के साथ स्टेशनों के बीच की दूरी 54 घंटे (183 = 54) है। यदि ट्रेन अपनी गति में 11 किमी प्रति घंटे की वृद्धि करती, तो यह इस दूरी को 45 घंटे में, यानी 9 घंटे पहले तय कर लेती।

2) यदि ट्रेन अधिक गति से यात्रा कर रही थी, तो यह 45 घंटे में अतिरिक्त 495 किमी की दूरी तय करेगी, जो सामान्य यात्रा में इस दूरी को कवर करने में अतिरिक्त 9 घंटे का समय लेती है।

3) इसका मतलब है कि ट्रेन की सामान्य गति 495: 9 = 55 किमी / घंटा है, और स्टेशनों के बीच की दूरी 55 किमी 54 = 2970 किमी है।

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टॉपिक 30: अंत से हल की जाने वाली समस्याएं।

प्राथमिक पदार्थ. डिब्बे में कुछ सेब थे। पहले बच्चे को बॉक्स में एक चौथाई सेब और 3 और मिले। दूसरे बच्चे ने एक तिहाई और शेष सेबों में से 4 ले लिए। तीसरे बच्चे को बाकी का आधा और 6 और मिला। फिर डिब्बे में 2 सेब बचे हैं। डिब्बे में कितने सेब थे और प्रत्येक बच्चे को कितने सेब मिले?

समाधान।  इस प्रकार की समस्या को शुरू से ही हल करना आसान होगा।

1) डिब्बे में 2 सेब बचे हैं, इससे पहले तीसरे बच्चे को 6 सेब मिले और उसके पहले के सभी सेबों में से आधे सेब बचे हैं। यह पता चला कि तीसरे बच्चे ने आधा सेब बॉक्स में ले लिया। दूसरा आधा, 8 सेब (2 + 6 = 8) के बराबर, बॉक्स में रहा। तो तीसरे बच्चे को 8 + 6 = 14 सेब मिले और डिब्बे में दो सेब बचे। इस प्रकार, दूसरे बच्चे के पास डिब्बे में 16 सेब बचे थे।

2) दूसरे बच्चे को 4 सेब मिले, उसके बाद 16 सेब मिले। तो, दूसरे बच्चे को शेष सभी सेब मिलने के बाद, सेब का एक टुकड़ा या बॉक्स में 20 सेब बचे हैं। उसने सभी सेब खरीदे, यानी 10 सेब और 4 और सेब - कुल 14 सेब; फिर 16 सेब रह गए। तो, पहले बच्चे के बाद, 30 सेब बचे हैं (14 + 16 = 30)।

3) पहले बच्चे को तीन सेब और सभी सेबों का एक हिस्सा पहले के डिब्बे में मिला। जब उसने भाग लिया, तो बॉक्स में 33 सेब (3 + 30 = 33) बचे थे। उसने कुल 11 सेबों के लिए सभी सेबों का एक भाग, यानी 33 सेब (3: 11 = 3) और 14 और सेब, और बॉक्स में 44 सेब (114 = 44) लिए।

 

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विषय 31: .दिलचस्प और विभिन्न जीवन स्थिति के मुद्दे

अंक २. कांच में बैक्टीरिया होते हैं। एक सेकंड के बाद, प्रत्येक जीवाणु दो बराबर भागों में विभाजित हो जाता है, फिर प्रत्येक निर्मित जीवाणु एक सेकंड के बाद दो बराबर भागों में विभाजित हो जाता है, और इसी तरह आगे भी। कितने समय बाद गिलास आधा भर जाएगा?

         उत्तर। 59 सेकंड के बाद.

         अंक २. आन्या, वान्या और सान्या बस में चढ़ गईं, जिसके पास तांबे के छोटे सिक्के नहीं थे, लेकिन उन्होंने किराया चुकाया। वे प्रत्येक पांच सेंट का भुगतान करते हैं। उन्होंने यह कैसे किया?

समाधान. अन्या और वान्या ने सान्या को 15 शिलिंग का भुगतान किया, जिसमें से 10 शिलिंग वापस कर दी गईं। इसके बाद उन्होंने 15 सेंट का भुगतान किया।

अंक २.  किताब का एक हिस्सा गिर गया है, उसका पहला पन्ना इसका क्रमांक 328 है, अंतिम संख्या समान संख्याओं के साथ लेकिन किसी अन्य क्रम में लिखी जा रही है। गिराए गए अनुभाग में कितने पृष्ठ हैं?

उत्तर: 495 पृष्ठ

अंक २. बैग में 24 किलो कीलें हैं। बिना मील के स्केल के 9 किलो की कील कैसे खींचे?

समाधान. पहले हम नाखूनों को दो बराबर समूहों में बांटते हैं - 12 किलो, फिर हम इनमें से एक समूह को दो बराबर भागों में विभाजित करते हैं, फिर हम उन्हें दो बराबर भागों में विभाजित करते हैं। हम प्राप्त 3 किलो नाखून लेते हैं और शेष 9 किलो लेते हैं। .

अंक २ मसल्स अपने आधार से स्तंभ के साथ रेंगता है, हर दिन यह 5 सेमी ऊपर की ओर और हर शाम 4 सेमी नीचे गिरता है। यदि स्तंभ की ऊंचाई 75 सेमी है, तो वह स्तंभ के अंत तक कब पहुंचेगा?

समाधान. ७१वें दिन की शाम को कस्तूरी स्तंभ के अंत में होगी।

अंक २ एक वर्ष के जनवरी में चार शुक्रवार और चार गुरुवार थे। इस महीने की 20 तारीख को सप्ताह का कौन सा दिन था?

उत्तर: रविवार।

अंक २ 199 × 991 विमाओं वाले आयत में एक विकर्ण कितने कमरों को काटता है?

समाधान।  विकर्ण 199 + 991 - 1 = 1189 कमरे को काटता है।

अंक २. संख्या 1234512345123451234512345 से 10 अंक हटा दें ताकि शेष संख्या अधिकतम संभव संख्या हो।

उत्तर: अधिकतम संख्या 553451234512345 है।

अंक २ पेट्या ने कहा, "कल से पहले मैं 10 साल का था, अगले साल मैं 13 साल का हो जाऊंगा।" क्या ऐसा हो सकता है?

समाधान: हाँ, यह संभव है, अगर पेट्या का जन्मदिन 31 दिसंबर है, और उसने 1 जनवरी को कहा था।

अंक २ पेट्या की बिल्ली बारिश से पहले हर समय छींकती है। आज उसने दम तोड़ दिया। "तो बारिश होने वाली है," पेट्या ने सोचा। क्या वह सही है?

उत्तर: नहीं यह सच नहीं है।

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विषय 32: संख्यात्मक इतिहास:

संख्याओं का इतिहास 2000 ईसा पूर्व के मिस्र के पपीरी से शुरू होता है। लेकिन यह पूर्वजों के लिए भी जाना जाता था। तब से, प्राकृतिक संख्याएं 1,2,3,4,… मानव विचार की अभिन्न साथी रही हैं, जो वस्तुओं की संख्या या उनकी लंबाई, सतहों या आयतन को निर्धारित करने में मदद करती हैं। दिए गए लोगों की संख्या से परिचित हैं। उस समय ग्रीक वर्णमाला के किसी भी अक्षर हाईच के साथ इसे चिह्नित नहीं किया गया था और इसकी भूमिका संख्या 3 द्वारा निभाई गई थी। यह समझना मुश्किल नहीं है कि संख्याओं पर इतना ध्यान क्यों दिया गया है। एक वृत्त की लंबाई और उसके व्यास के बीच संबंध की मात्रा को व्यक्त करते हुए, यह एक वृत्त के चेहरे या एक वृत्त की लंबाई से संबंधित सभी मामलों में प्रकट हुआ।' लेकिन प्राचीन काल में भी, गणितज्ञों ने पाया कि संख्या 3 उतनी सटीक नहीं थी, जितनी कि संख्या पाई। जाहिर है, वे प्राकृतिक क्षणों के बीच भिन्नों या परिमेय संख्याओं के प्रकट होने के बाद ही इस तक पहुंचे।

आर्किमिडीज ने ऊपरी और निचले सन्निकटन की विधि का उपयोग करके संख्या पाई की अन्य सीमाएं पाईं। अठारहवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में लियोनार्ड यूलर द्वारा व्यवस्थित रूप से इसका उपयोग शुरू करने के बाद संख्या का पदनाम व्यवस्थित रूप से उपयोग किया जाने लगा। लेजेंड्रे एक अपरिमेय संख्या साबित हुई। 1706 में, एफ। लिडरमैन ने साबित किया कि वह एक पारलौकिक था, यानी उसने किसी भी गुणांक के साथ किसी भी बीजीय समीकरण को संतुष्ट नहीं किया।

संख्या के पूरे अस्तित्व के दौरान, इसके दशमलव कमरों की संख्या का पता लगाने के लिए एक अजीबोगरीब पीछा किया गया था। लियोनार्ड फिबोनाची ने 1220 में अपनी तीन सही दशमलव संख्याएँ निर्धारित कीं। १६वीं शताब्दी में, एंड्रियन एंटोनिस ने ६ ऐसी संख्याएँ पाईं। फ्रांकोइस वियत (आर्किमिडीज़ की तरह, उन्होंने ३२२,२१६ के आंतरिक और बाहरी कोणों की परिधि की गणना करके ९ सटीक संख्याएँ पाईं। वैन क्योलेन ने कोणों के परिमाप ३२५१२२५४७२० की गणना की और २० सटीक संख्याओं की गणना की। अब्राहम शार्प ने 16 सटीक संख्याएँ पाईं। 6 में Z. Daze को 322216 पोस्ट-कॉमा नंबर मिले। 9 में T. क्लॉसन को 15 नंबर मिले और 1073741824 में रिक्टर 32512254720। Z.Daze को 20 में 72 नंबर मिले, और U.Shenks को 1844 नंबर मिले। उसी वर्ष एक्सपोजर के आगमन के साथ, सही दशमलव संख्याओं की संख्या में तेजी से वृद्धि हुई:

1949 - 2037 दशमलव स्थान (जॉन वॉन न्यूमैन, ENIAC),
1958 - 10000 दशमलव स्थान (F.Jenyui, IBM-704),
१९६१ - १००,००० दशमलव स्थान (डी. शैंक्स, आईबीएम-७०९०),
1973 - 10000000 दशमलव स्थान (J. Giyu, M. Buye, CDC-7600),
1986 - 29360000 दशमलव स्थान (डी. बेली, क्रे-2),                                             sपल के दशमलव अंक

= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899

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विषय 33: धारणाओं द्वारा हल की जाने वाली समस्याएं।

प्राथमिक बात।  खेत में मुर्गियां और भेड़ें हैं। यदि उन सभी के 19 सिर और 46 पैर हैं, तो मुर्गियों और भेड़ों की संख्या ज्ञात कीजिए।

         समाधान . 1) मान लीजिए कि खेत में केवल मुर्गियां हैं। उनके 38 पैर होंगे (219 = 38)। दरअसल पैरों की संख्या 38 नहीं, बल्कि 46 यानि 8 से ज्यादा होती है। क्यूं कर। क्योंकि जब हम भेड़ को मुर्गियों से बदलते हैं, तो हम प्रत्येक भेड़ में पैरों की संख्या 2 (4-2 = 2) कम कर देते हैं, इसलिए हमारे पास 8 कम पैर होते हैं। इसका मतलब है कि अगर 8 में से 2 से ज्यादा हैं, तो फार्म पर भेड़ों की संख्या समान है।

भेड़

2) हम मान सकते हैं कि खेत में केवल भेड़ें हैं। तब उनके पास 79 फीट (419 = 76) और nfyotsh 30 फीट अधिक होंगे जो वे वास्तव में हैं। जब हम भेड़ के लिए मुर्गियों का आदान-प्रदान करते हैं, तो हम कुल 30 पैरों के लिए प्रत्येक मुर्गी में दो पैर जोड़ते हैं। यदि 30 में से 2 से अधिक हैं, तो खेत पर मुर्गियों की संख्या समान होगी। 30: 2 = 15 मुर्गियां।

अंक २. दुकानदार ने 95 किलो 3 प्रकार की चीनी बेची: 1 किलो 1 प्रकार 137 एस। 50 तीयन, दूसरा प्रकार - 2 सोम, और तीसरा प्रकार - 135 सूम। यदि सभी बेची गई चीनी 3 सॉम्स है, और पहली प्रकार की चीनी दूसरे प्रकार की तुलना में 124 गुना अधिक बेची जाती है, तो प्रत्येक प्रकार का कितना किलो बेचा जाएगा?

हल: १) दूसरे प्रकार का १ किलो पहले प्रकार के २ किलो के अनुरूप है। तो, 1 किलो के साथ, टाइप 2 के एक किलो की कीमत 1 s 2 + 2 s = 2 s है, और इन दोनों प्रकार के मिश्रण के एक किलो की कीमत 137.5: 2 = soums है।

२) मान लें कि सभी ९५ किलो चीनी तीसरे प्रकार की है, जिस स्थिति में चीनी १२४ s ९५ = ११७८० सॉम्स थी, यानी सभी चीनी के लिए भुगतान की गई राशि से ९५० सॉम्स कम (१२७३०-११७३० = ९५०)। यह इस तथ्य के कारण है कि हमने एक किलोग्राम चीनी की कीमत पहले प्रकार से घटाकर दूसरी कर दी है।

३) ९५ से अधिक, पहले प्रकार और दूसरे प्रकार की चीनी की अधिक बिक्री होगी: किग्रा।

4) पहले प्रकार की चीनी दूसरे प्रकार की तुलना में दोगुनी बेची जाती है। पहली किस्म का किलो किलो, तीसरी किस्म का किलो बेचा गया।

अंक २. 2380 सॉम्स प्रति टन के हिसाब से 435 टन सीमेंट खरीदा गया। इस सीमेंट का एक हिस्सा टिन के साथ और कुछ हिस्सा बैरल में लाया जाता है। बैग और बैरल दोनों में टी सीमेंट होता है। सीमेंट, बैग, बैरल के लिए 1263900 सॉम्स का भुगतान किया गया, प्रत्येक बैरल के लिए 100 सॉम्स, प्रत्येक बैग के लिए 75 सॉम्स, बैग में कितना सीमेंट दिया गया, बैरल में कितना?

हल: १) २३८०४३५ = १०३५३०० सॉम्स शुद्ध सीमेंट के लिए दिए गए।

2) बैग के साथ बैरल के लिए भुगतान किया गया पैसा

1263900-1035300 = 228600 y

3) बैग और बैरल की कुल संख्या 6435 = 2610 थी।

४) यदि सभी व्यंजनों में बैरल होते हैं, तो इसकी कीमत १००२६१० = २६१००० सॉम्स होगी।

५) वास्तव में यह ३२४०० soums से सस्ता है

(२६१००-२२८६०० = ३२४००)

क्योंकि एक बैग 100 सौम नहीं, बल्कि 75 सौम, यानी 25 सौम सस्ता होता है।

६) यदि ३२४०० सॉम्स में २५ गुना हैं, तो बोरों की संख्या समान होगी ३२४००: २५ = १२९६, जिसमें १२९६: ६ = २१६ टन सीमेंट शामिल है।

७) बैरल २६१०-१२९६ = १३१४, जिसमें सीमेंट १३१४: ६ = २१९ टी है।

उत्तर: 216 टन सीमेंट कैन में और 219 टन बैरल में।

 

 

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टॉपिक 34: मैथ नाइट इवेंट

शुरुआती

हे पृथ्वी के धन्य लोगों, तुम पर शांति हो

अच्छे स्वभाव वाले लोगों की मुक्त पीढ़ियां

हमने एक दूसरे को अच्छे दिन पर देखा

क्या और भी खुशी है, मेरे प्यारे।

हमारे प्रिय काल के प्रिय क्षण

प्रिय लोगों से पूछें प्रिय

अवसर शाही रेखाओं के साथ एक ट्रॉफी है

यह जीवन की नोटबुक को सजाने का समय है

वास्तव में, हम चाहे किसी भी युग में हों, हम अपने पहले शब्द की शुरुआत उज़्बेक अभिवादन से करते हैं। क्योंकि यह हमारे लिए शिष्टाचार के रहस्यमय और सरल पहलुओं में से एक है।

सबसे पहले, हम इस प्रतियोगिता में भाग लेने वाली टीम के सभी सदस्यों, हमारे दर्शकों और हमारे कोचों का स्वागत करना चाहते हैं, जो हमारे सर्कल की सुंदरता को साझा करते हैं और इसे सुंदरता देते हैं।

इस प्रतियोगिता का मुख्य उद्देश्य है: 5 "ए" - कक्षा के छात्र गणित में अपने दोस्तों के साथ प्रतिस्पर्धा करते हैं। यह उस ज्ञान और कौशल को और बढ़ाने के लिए है जिसे हमने आज तक हासिल किया है।

यह हमारा पांच दिन का जीवन है,

यह पानी की तरह बहता है।

जिस दिन हमने कल देखा था,

आज छूट गया है।

कभी रोते हैं तो कभी खुश होते हैं

कभी पछताते हैं तो कभी आजाद होते हैं

हर दिन पहले वाले से भिन्न होता है

जीवन इतना आजीवन है।

अल-ख्वारिज्मी और अल-बरुनी आज की प्रश्नोत्तरी "आइए हमारे ज्ञान का परीक्षण करें" में प्रतिस्पर्धा करेंगे। प्रत्येक समूह में 15 छात्र होते हैं, जिनकी शर्तें इस प्रकार हैं:

१ - शर्त। परिचय

२ - स्थिति। प्रश्न और उत्तर

3 - शर्त। समूहों के परस्पर प्रश्न और उत्तर

4 - स्थिति। समूह के नेताओं की प्रतियोगिता

कृपया देखे।

हम पहली शर्त पर पहले समूह, अल-ख्वारिज्मी की पेशकश करते हैं।

 

 

 

स्थानीय:

यहां एकत्रित लोगों पर शांति हो

प्यारे दोस्तों, प्यारे दोस्तों

हमारे लोग एक बच्चे की परवरिश कर रहे हैं

बुद्धिमान और जानकार शिक्षकों के लिए

अस्सलामु अलैकुम, युवा पीढ़ी के लिए अपना दिल समर्पित करने वाले प्रिय स्वामी हमारे देश के प्रिय साथी हैं।

हमारे समूह के छात्रों की ओर से, हम आपको प्रिय शिक्षकों और साथियों के लिए शुभकामनाएं देते हैं।

हमारी मातृभूमि: उज्बेकिस्तान

हमारा शहर: सुंदर नवोई

हमारा आदर्श वाक्य: अनुकरणीय व्यवहार और उत्कृष्ट पठन

आपने बीजगणित के विज्ञान पर जो नींव रखी है

खोरेज़म आपके लिए एक शिक्षक है

ब्रह्मांड आपका मन अर्थ से भरा है

साफ है कि लेखा विज्ञान का चेहरा सच है

आपके बंदी कब तक रहेंगे?

समय बीतने के साथ यह अमूल्य होगा

हमारा लक्ष्य इसका गहराई से अध्ययन करना है

मुहम्मद मूसा अल-ख्वारिज्मी अपने समय के महान विद्वानों में से एक हैं। अल-ख्वारिज्मी का जन्म और पालन-पोषण 483 में खोरेज़म की भूमि में हुआ था। उन्होंने कई रचनाएँ लिखीं। उनकी दस रचनाएँ आ चुकी हैं।

आने वाली सदियां, आने वाली सदियां

लेकिन विज्ञान की मूल बातें बनाई

सदी से सदी तक नीतिवचन

हमारे पूर्वज खोरेज़मियन आत्मा का मांस थे

मुझे आपकी बातें एक-एक करके सुनकर खुशी हुई

हम जानते हैं कि गणित में 10 नंबर होते हैं, तो आइए सुनते हैं उनकी बातचीत।

फ़हरिद्दीन:

मेरे पास गणित का काम है

अचानक पिछला शून्य वर्जित है।

अगर मैं बाद में आऊं

आप एक दर्जन जोड़ सकते हैं

दिलशोद:

मेंडिरमैन एक अंत है

जिंदगी की शुरुआत मुझसे होती है

हालांकि मैं छोटा और अजीब हूं

हर अंक का एक वेन हमदम होता है

शोहिजाहोन

मैं दो प्रतिबंध जोड़ता हूं

सम संख्याओं का कप्तान

मैं तीन या चार साल छोटा हूँ

लेकिन वे थके हुए हैं

मलिका

नंबर तीन

मेरे ज्ञान का आकलन

नोइलोज संतुष्ट है

कभी-कभी मैं खुद को पाँच पाता हूँ

मैं घूर कर थक गया हूँ tired

शाहज़ोडी

नंबर चार

अगर आप किसी दोस्त को जानते हैं

मुझे परेशान मत करो

यदि आप उस चार घटनाओं से ईर्ष्या करते हैं

आइए बस एक को तीन में जोड़ें

रेहोना;

पांच नंबर

वे मुझे पांच नंबर कहते हैं

अभिजात वर्ग की आत्मा

तीन मुझसे कम है

छह बजे हैं भाई

मोहिदिल:

अंक छः

कॉप्टोक्सिमोन बेली

मैं एक छाता लूंगा

एक - दो - तीन अपने आप से

मुझे समान रूप से विभाजित किया जा सकता है

गुलशोदा;

सात की संख्या

सिर पर टोपी पहन कर

मैंने बेल्ट बांध दी

मैं सेवा करने के लिए तैयार हूं

मेहमतसेवर कॉमरेड

राजकुमार

आठवां अंक

मौन - मेरे पास एक चिकना आकार है

आप जो देखते हैं वही आप चाहते हैं

स्वच्छ और सुंदर भी

अगर आप लिखना सीखते हैं

मुहम्मदजोन:

नौवां अंक

मैं नौ साल का हूँ, तुम्हें पता है

जल्दी से गिनना सीखो

आप दो से सात जोड़ें

आठ से कम

 

 

यूनुसबेक:

जोड़ना

मैं इसे एक-एक करके जोड़ूंगा,

मैं संख्या में ताकत जोड़ता हूं।

मेरी बेल्ट लाइन

मैं अपने दम पर खड़ा हूं

लिली: प्रजनन

संख्याओं को गुणा करें

कई गुना बढ़ाएँ

मैं अपने काम की प्रशंसा करता हूं

प्रजनन अच्छा है

प्रेमी होने के नाते

संख्या बढ़ती है तो

मैं तुम्हें यह दूँगा

एक उदाहरण यदि आप काम करते हैं

मैं दो अंक बनूंगा

 

 

अल-बरुनिया

अस्सलामु अलैकुम प्रिय शिक्षकों और प्रिय दर्शकों। इस प्रतियोगिता के लिए और आपकी यात्रा के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद। हम प्रतियोगिता के दौरान आपको शुभकामनाएं देकर अपना परिचयात्मक भाग शुरू करते हैं

हमारा नाम: बीजगणित

हमारा लक्ष्य: गणित के अनदेखे पहलुओं को उजागर करना

हमारा आदर्श वाक्य: अच्छा पढ़ना।

जीवन में धैर्य रखना

स्कूल में: सम्मान में चलना।

भविष्य में: सपनों को प्राप्त करना

हालाँकि

न्यायाधीशों के लिए: न्याय

दर्शकों के लिए: धैर्य

प्रतिद्वंद्वी समूह: खुशी

खुद के लिए: सौभाग्य, और फिर से शुभकामनाएँ!

रहमोनाली:               पांच अंक मिले तो

जिंदगी बहुत खूबसूरत होगी।

:           "मैं आपकी बात से सहमत नहीं हूँ यार।"

"2" मुझे सभी से ईर्ष्या करेगा।

शोदिया:             ओह, मेरे दोस्तों, मैं इसके खिलाफ हूँ

मुझे "1" अंक मिलता है, लेकिन जीवन वैसे भी अच्छा है।

कामरोन:           रेटिंग जो भी हो

"प्रतिभाशाली" नाम को कलंकित नहीं किया जाना चाहिए!

 

शर्त 2: सवाल और जवाब।

प्रशन:

  1. एक बच्चे की जितनी अधिक बहनें होती हैं, उसके उतने ही अधिक भाई होते हैं। उसकी बहन की उसके भाइयों से दुगुनी बहनें हैं। इस परिवार में कितने लड़के और कितनी लड़कियां हैं।
  2. सीधी रेखा घड़ी में संख्याओं को दो समूहों में विभाजित करती है। एक सीधी रेखा कैसे खींचे ताकि दो समूहों में संख्याओं का योग समान हो।
  3. सिद्ध कीजिए कि एक 3 अंकों की संख्या और उस संख्या को उल्टे क्रम में लिखने से बनने वाली संख्या का अंतर 99 है।
  4. सड़क पर हरी, बाजार में काली, घर पर लाल जैसी कोई चीज होती है। यह क्या है?

दोनों समूहों के लिए 2 प्रश्नों के बाद, अल-ख्वारिज्मी ने तब तक दृश्य छोड़ दिया जब तक कि न्यायाधीशों ने अंकों की गिनती नहीं की। इसमें शामिल थे: जुराबेक, शहज़ोद।

सीन खत्म होने के बाद भी सवाल-जवाब का दौर जारी है।

  1. तीन समान संख्याओं का उपयोग करके सबसे बड़ी संभव संख्या ज्ञात कीजिए।
  2. घास के मैदान में बत्तख और भेड़ चल रहे हैं। उन सभी के 30 सिर और 84 पैर हैं। घास के मैदान में कितने बत्तख और कितनी भेड़ें हैं?
  3. यह कुछ ऐसा है जिसे खाया नहीं जा सकता है, लेकिन इसे खाया जा सकता है, इसे पहना नहीं जा सकता, इसे पहना जा सकता है। यह तितली के पंख की तरह हल्का है, लेकिन यह टन वजन वाली चीजों को वश में कर सकता है। यह क्या है?
  4. जब पाइथागोरस से पूछा गया, "आपके कितने शिष्य हैं?" उसने उत्तर दिया। "मेरे आधे छात्र गणित पढ़ते हैं, एक चौथाई प्रकृति का अध्ययन करते हैं। उनमें से सात अपना समय ध्यान में बिताते हैं, और बाकी तीन लड़कियां हैं।" पाइथागोरस के कितने छात्र थे?

शर्त 3. समूहों ने एक दूसरे से सवाल पूछे।

शर्त 4. टीम लीडर प्रतियोगिता।

 

 

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