ilginç konular

ARKADAŞLARLA PAYLAŞ:

Bütün yaşlar için

1) Kardeşi 1'den 9'a kadar olan sayılardan birini düşündü. Kardeşi "Evet" ya da "Hayır" diye cevap vererek onu kaç soru bulabilir? Neden daha az soru ile bulamıyorsunuz?

2) Kardeşi 1'den 7'ye kadar olan sayılardan birini düşündü. Kardeşi ondan aklına gelen sayı üzerinde dört aritmetik işlem yapmasını ister. Bir keresinde sonucun ne olduğunu sorabilir. Bu sayede abisi, kardeşinin düşündüğü sayıyı bulabilecek mi? Daha sonra kaç aritmetik işlem bulabilir?

3) Kardeşi 1, 2, 3 sayılarından birini düşünüyor. Kardeşi ona bir soru sorabilir. Kardeşi ona "Evet", "Hayır" veya "Bilmiyorum" yanıtlarından birini söyler. Bir erkek kardeş, kardeşinin düşündüğü sayıyı tek bir soruyla bulabilir mi?

4) Erkek kardeş, 1'den 4'e kadar olan sayılardan birini düşünürse ve kardeşinin sorusuna "Evet", "Hayır", "Yanıtını söyleyebilirim" veya "Bilmiyorum" şeklinde cevap verirse, erkek kardeşi sorar. kardeşim bir soru aradığın numarayı bulabildin mi

5) Kardeşinizin 1'den 5'e kadar olan sayılardan birini düşündüğü bir durum için 4'lü gibi bir problem oluşturun.

H.SHTEINHAUZ SORUNLARI

Hugo Steinhaus (1887-1972) ünlü bir Polonyalı matematikçiydi. Matematiğin birçok modern alanında araştırmalar yaptı ve öğrenciler ve öğrenciler için ilginç kitaplar yazdı. Özellikle "Matematiksel Kaleydoskop" adlı kitabı bir düzineden fazla dile çevrildi ve yeniden basıldı.

Aşağıda H. Steinhaus'un A Hundred Matters adlı kitabından bir seçki yer almaktadır. Birçok yönden, bu konular özgünlükleri için dikkat çekicidir. Bazılarının ustalık gerektirmesi ve en küçük araştırmaya bile temel teşkil etmesi, matematiği seven gençler için oldukça faydalıdır.

1. Çarpım tablosu ile egzersiz yapın. Aşağıdaki sırayı göz önünde bulundurun:

2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8,…

Aşağıdaki gibi yapılandırılmıştır:

2; 3; 2 × 3 = 6; 3 × 6 = 18 1, 8; 6 × 1 = 6; 1 × 8 = 8; 8 × 6 = 48 4, 8; …

İşte biraz daha fazlası: 6 × 8 = 48 4, 8; 8 × 4 = 32 3, 2; 4 × 8 = 32 3, 2; …

Böylece yan yana sayılar çarpılır. Bu durumda tek basamaklı bir sayı oluşturulmuşsa yazılan sayılardan sonra, iki basamaklı bir sayı çıktıysa sayılar aynı sırada yazılır.

H. Steinhaus, 5, 7, 9 sayılarının bu dizide asla görünmediğini kanıtlamayı teklif ediyor.

2. Dinamik sistem. Ondalık sayı sisteminde, keyfi bir pozitif tamsayı (örneğin, 2538) alır ve sayılarının karelerini toplarız (örneğin, 22 +52 +32 +82 = 102). Elde edilen toplam (12 +02 +22 + 5), vb. (52 = 25, 22 +52 = 29, 22 +92 = 85,…) ile aynı işlemi tekrarlıyoruz.

Başlangıçta elde edilen sayı ne olursa olsun, sonuçta ortaya çıkan dizide 1 veya 4'ün kesinlikle olacağını kanıtlayın.

3. İlk konu bölünmedir. 55k + 1 + 45k + 2 + 35k'nin her zaman 11'e kalansız bölünebildiğini kanıtlayın (k bir pozitif tam sayıdır).

4. İkinci konu bölünmedir. Kanıtlayın: 3105 + 4105 sayısı 13, 49, 181 ve 379 ile bölünebilir, ancak 5 ve 11 ile bölünemez.

5. Garip bir şekilde simetrik ifade. x, y, z değişkenleri nasıl değiştirilirse değiştirilsin, ifadenin değerinin aynı kaldığını belirtin. Sonuç açıkça görülebilecek şekilde bu ifadenin biçimini tam olarak değiştirin.

6. Sözlü olarak çözülebilir bir geometrik problem. A, b, c bir üçgenin kenarları olsun, A kenarının karşısındaki açı olsun ve S yüz olsun. Trigonometri kullanmadan ispatlayın: ÐA = 600 ise, A = 1200 ise,

7. Pratik konu. Basit bir masanın üzerinde basit bir tuğla var. Bir kurşun kalem ve 60 cm uzunluğunda bir cetvel kullanarak herhangi bir hesaplama yapmadan tuğlanın köşegenini ölçmenin bir yolunu bulun.

OLİMPİYAT KONULARI

2012 Mart 31'de Moskova Devlet Üniversitesi Taşkent şubesi Matematik ve Bilişim Olimpiyatlarına ev sahipliği yaptı. Ağırlıklı olarak Taşkent'teki akademik liseler ve profesyonel kolej öğrencileri katıldı. Aşağıda Matematik Olimpiyatlarının konuları yer almaktadır.

1. (5 puan) Reel sayılar üzerindeki işlem kurala göre belirlenir. Eğer öyleyse, ifadenin maksimum değeri nedir?

2. (10 puan) Bu ürünün son 8 basamağını bulun (ondalık gösterimde).

3. (10 puan) Denklemin negatif olmayan tam çözümlerinin sayısını belirleyin.

4. (15 puan) - Pozitif sayılar, toplamda üç tanesinin toplam kaç gerçek kökü olabilir?

5. (20 puan) Koridorda 100 kapı var. Başlangıçta her şey kapalıdır. 1 ile 100 arasında tek sayılı kapı zilleri sırayla aşağıdakileri yapar: Dijital kapı zili her kapının konumunu değiştirir, yani kapalı kapıyı açar, açık kapıyı kapatır. Bütün kapıcılar işlerini aynı anda yaptığında kaç kapı açılacak?

6. (20 puan) AD ve AE kesişimleri AVS eşkenar üçgeninin A ucundan yapılmıştır. Bu durumda, D, E noktaları VS tarafındadır (V, D, E, S sırasına göre). BD = 3, CE = 5 ise, VS'yi bulun.

7. (20 puan) Tablo 1'den 9'a kadar sayılarla doldurulur, burada bitişik, yani ortak kenarları olan hücrelerdeki sayılar karşılıklı asaldır (en büyük ortak bölen 1'e eşittir). Bu kaç yolla yapılabilir?

MATEMATİKSEL OYUNLAR

Matematik, satranç ve dama gibi oyunlardan daha özel diğer oyunları sever. Bazen kendisi icat eder. Bu tür oyunların önemli bir özelliği - ister bir oyun olarak değil, ister kompakt ister tüm otobüs broşürünü gerektirsinler - bir araştırma meselesi olarak görülüyor. Böyle bir sorunu çözmek gerçekten eğlenceli bir iştir.

Sitenin süpervizörü postayla bir kitap aldı. Izhevsk'ten meslektaşı Profesör Nikolai Nikandrovich Petrov'un Matematik Oyunları kitabıydı. Kitabın bir bölümü şirkle ilgili oyunlara ayrılmıştır. Bu tür sorular uluslararası matematik olimpiyatlarında da verildiği için sitemizde problem listesi hazırlıyoruz.

1. aşağıdaki oyun şu denklemle oynanır: birinci oyuncu istediği iki gerçek sayıyı söyler, ikinci oyuncu bu sayıları katsayılar yerine istediği sıraya yerleştirir. Söz konusu sayılardan biri elde edilen denklemin kökü ise, ilk oyuncu, aksi takdirde ikinci oyuncu kazanır. Kimin yutabileceğini bul.

2. denklem verildi. İki oyuncu sırayla katsayılardan birini 1 çıkarır. Bir kişinin yürüyüşünden sonra oluşan denklemin tüm kökü varsa, o bir kaybeden olarak kabul edilir. İlk oyuncu kazanmak için ne yapmalıdır?

3. Tahtada bir not var. İlk oyuncu herhangi üç gerçek sayı söyler ve ikinci oyuncu bunları üç nokta yerine istedikleri sırayla yazar. Ortaya çıkan denklemin iki farklı rasyonel kökü varsa, ilk oyuncu kazanır, aksi takdirde ikinci oyuncu kazanır. Burada da ilk oyuncunun her zaman kazanabileceğini kanıtlayın.

4. Tahtaya 1'den 100'e kadar olan doğal sayılar yazılır. İki oyuncu sırayla birer numarayı siliyor. Bu işleme tahtada iki sayı kalana kadar devam edilir. Bu sayılar denklemin katsayılarını (şu veya bu sırayla) değiştirdiğinde, elde edilen denklem farklı tam köklere sahipse ilk oyuncu kazanır, aksi takdirde ikinci oyuncu kazanır. Oyunda ikinci oyuncunun elinin yukarı çıktığını kanıtlayın.

5. Denklem okul tahtasına yazılır. İki öğrenci böyle bir oyun oynuyor. Birinci oyuncu katsayılardan biri yerine istediği gerçek sayıyı yazar. İkinci oyuncu daha sonra kalan katsayılardan biri yerine herhangi bir gerçek sayı yazar. Sonra yine ilk oyuncu kalan katsayı yerine gerçek bir sayı yazar. Ortaya çıkan denklemin üç farklı gerçek kökü varsa, ilk oyuncu kazanır, aksi takdirde ikinci oyuncu kazanır. Bu oyunda ilk oyuncunun her zaman kazanabileceğini kanıtlayın.

6. Yukarıdaki oyunun koşulunu aşağıdaki gibi değiştirelim: Ortaya çıkan denklemin bir gerçek kökü varsa, ilk oyuncu kazanır, aksi takdirde - ikinci oyuncu. İlk oyuncu bu oyunda da her zaman kazanabilir mi?

7. İlk oyuncunun ilk hamlede aynı anda iki katsayı seçmesine izin verin (yani, bunun yerine gerçek bir sayı yazarsa), ardından ikinci oyuncunun kalan katsayıyı seçmesine izin verin. Ortaya çıkan denklemin birden fazla kökü varsa, ilk oyuncu aksi takdirde ikinci oyuncuyu kazanır. Bu oyunda da ilk oyuncunun her zaman kazanabileceğini kanıtlayın.

8. Aşağıdaki denklem dikkate alınır: İki oyuncu, oranlar yerine sıfır olmayan bir tam sayı koydu. Bu, ilk önce bir katsayılı ilk oyuncu, ardından kalan üç katsayılı ikinci oyuncu tarafından yapılır. Ortaya çıkan denklemin en az iki tam çözümü varsa, ikinci oyuncu kazanır, aksi takdirde birinci oyuncu kazanır. Bu oyunda ilk oyuncunun kazanabileceğini kanıtlayın.

9. Yukarıdaki denklemde, oyuncular katsayılar yerine tam sayıları sırayla koyarlar. Ortaya çıkan denklemin tam kökü varsa, ikinci oyuncu, aksi takdirde ilk oyuncu kazanır. Oyunu kimin kazanacağını belirleyin.

10. birçoğu sayılır. İki oyuncu sırayla tam sayıları katsayılara koyar. Ortaya çıkan polinomun tüm değerleri 6'ya kalansız bölünürse birinci oyuncu, aksi halde ikinci oyuncu kazanır. İlk oyuncunun her zaman yutabileceğini kanıtlayın.

 

"Charles Trigg. Jiz'in Sorunları ”

1. 3 sayısı pozitif sayılara dört farklı şekilde yayılabilir: 3, 2+1, 1+2, 1+1+1. Rasgele bir sayının benzer şekilde pozitif sayılara bölünebileceğini kanıtlayın.

2. Tabanda 9 cm yüksekliğinde ve 4 cm uzunluğunda bir silindirin etrafına bir tel sarılmıştır. Tel, bir silindir yapıcının bir ucundan çıkar, 10 kez spiral yapar ve o yapıcının diğer ucunda biter. Telin uzunluğunu bulun.

3. Bölümü geri yükleyin:

******** | *** ___

 

*** __ ** 8 **

 

****

 

*** __

****

****

 

33. 5 746 320 819 125'i sözlü olarak arayabilir misiniz?

40. Farkı ve oranı 5 olan iki sayı bulun.

42. Roppa-rosa'nın 7 kenarlı bir çokgen olamayacağını kanıtlayın.

72. Üç sayı (uzunluk anlamında) bir üçgenin kenarları ise, bunların kare kökleri de bir üçgenin kenarları olabilir. Bir üçgenin bir ucundan gelen düz bir çizgi, diğer ucundan iki medyana eşitse, devam edildiğinde üçgenin kenarının üçte birini keser.

86. Eşkenar üçgenin içine çizilen daireden rastgele bir nokta seçilir. Bu nokta bir daire içinde hareket ederse, ondan üçgenin uçlarına kadar olan mesafelerin toplamı değişmez. Kanıtla.

100. Çember 10 eşit parçaya bölünmüştür. Bitişik ayrık noktalar kesişmelerle birleştirilirse düzgün 10 açı, bu noktalar ikişer düşürülerek birleştirilirse yıldız şeklinde bir dikdörtgen oluşur. Bu dikdörtgenlerin kenarlarının farkının dairenin yarıçapına eşit olduğunu kanıtlayın.

127. Keyfi bir tam pozitif için bir ifadenin değerinin 8640 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayın.

218. Bir kişi evden ofise yürüyerek otobüsle dönüyor, toplamda bir buçuk saat yolda. Otobüse her iki yönde de binerseniz yarım saat sürer. Peki, evden işe, işten eve yürüyerek giderse, etrafta dolaşması ne kadar sürer? (Sorun cebir kullanılmadan çözülmeli!)

227. Eşkenar üçgenin sonundaki açı S = 20 ° 'dir. ve kenarlar ve noktalar olacak şekilde seçilir. Olduğunu kanıtla. (Problem trigonometri olmadan çözülmelidir!)

248. Daireyi dört eşit parçaya bölün. (Sorun sadece pusula yardımı ile çözülmelidir!)

305. Üçgeni eşkenar yapmak için

Denklemin gerekli ve yeterli olduğunu kanıtlayın (–üçgenler).

326. Mantıkla nasıl bir ilişkiniz var? İşte denemek için bir örnek. "V kümesinin en az iki elemanı A kümesine aittir" ifadesi yanlış olsun. Bundan V kümesiyle ilgili sonuç nedir?

357. Peki mekanik? Lütfen kendiniz deneyin. Uzunluğunda bir demir çubuk (yani kütleli bir enine kesit), yarım küre şeklindeki kesinlikle pürüzsüz (sürtünme 0'a eşit) bir kapta dengede bulunur. Kazan yatay konumda eğitilmişse, çubuk hangi konuma yerleştirilecektir?