قضايا مثيرة للاهتمام

شارك مع الأصدقاء:

لكل الأعمار

1) فكر أخوه في أحد الأرقام من 1 إلى 9. ما هو عدد الأسئلة التي يمكن لأخيه أن يجده بها بإجابة "نعم" أو "لا"؟ لماذا لا تجده بأسئلة أقل؟

2) فكر أخوه في أحد الأعداد من 1 إلى 7. يطلب منه شقيقه إجراء أربع عمليات حسابية على الرقم الذي يفكر فيه. قد يسأل مرة عن النتيجة. وبهذه الطريقة هل يمكن لأخيه أن يجد الرقم الذي يفكر فيه أخوه؟ كم عدد العمليات الحسابية التي يمكنه أن يجدها بعد؟

3) يعتقد أخوه بأحد الأعداد 1 ، 2 ، 3. يمكن لأخيه أن يسأله سؤالاً واحداً. قال له شقيقه بإحدى الإجابات "نعم" أو "لا" أو "لا أعرف". هل يمكن للأخ أن يجد الرقم الذي يظنه أخوه بسؤال واحد؟

4) إذا فكر الأخ في أحد الأرقام من 1 إلى 4 ويمكنه أن يجيب على سؤال الأخ بـ "نعم" أو "لا" أو "يمكنني أن أقول الإجابة غدًا" أو "لا أعرف" ، يسأل الأخ اخي سؤال واحد هل تجد الرقم الذي تبحث عنه؟

5) ابتكر مشكلة مثل الرابعة لحالة يفكر فيها أخوك في أحد الأرقام من 1 إلى 5.

قضايا حاء

كان هوغو شتاينهاوس (1887-1972) عالم رياضيات بولنديًا مشهورًا. أجرى أبحاثًا في العديد من مجالات الرياضيات الحديثة وألف كتبًا ممتعة للتلاميذ والطلاب. على وجه الخصوص ، تمت ترجمة كتابه "المشكال الرياضي" إلى أكثر من اثنتي عشرة لغة وأعيد طبعه.

يوجد أدناه مجموعة مختارة من كتاب H. Steinhaus مائة مهمة. من نواح كثيرة ، فإن هذه القضايا جديرة بالملاحظة لأصالتها. حقيقة أن بعضها يتطلب براعة وهي أساس البحث ، وإن كان صغيرًا ، مفيد جدًا للشباب الذين يحبون الرياضيات.

1. تمرين مع جدول الضرب. ضع في اعتبارك التسلسل التالي:

2 ، 3 ، 6 ، 1 ، 8 ، 6 ، 8 ، 4 ، 8 ، ...

وهي منظمة على النحو التالي:

2 ؛ 3 ؛ 2 × 3 = 6 ؛ 3 × 6 = 18 1 ، 8 ؛ 6 × 1 = 6 ؛ 1 × 8 = 8 ؛ 8 × 6 = 48 4 ، 8 ؛ ...

وإليك المزيد منها: 6 × 8 = 48 4 ، 8 ؛ 8 × 4 = 32 3 ، 2 ؛ 4 × 8 = 32 3 ، 2 ؛ ...

وبالتالي ، يتم ضرب الأرقام جنبًا إلى جنب. في هذه الحالة ، إذا تم تكوين رقم مكون من رقم واحد ، يتم كتابته بعد الأرقام المكتوبة ، وإذا تم إخراج رقم مكون من رقمين ، تتم كتابة الأرقام بنفس الترتيب.

يقدم H. Steinhaus إثبات أن الأرقام 5 و 7 و 9 لا تظهر أبدًا في هذا التسلسل.

2. نظام ديناميكي. في نظام الأرقام العشري ، نأخذ عددًا صحيحًا موجبًا عشوائيًا (على سبيل المثال ، 2538) ونضيف مربعات أرقامه (على سبيل المثال ، 22 +52 +32 +82 = 102). نكرر نفس العملية مع المجموع الناتج (12 +02 +22 + 5) ، إلخ. (52 = 25 ، 22 +52 = 29 ، 22 +92 = 85 ، ...)

مهما كان الرقم الذي تم الحصول عليه في البداية ، أثبت أن إما 1 أو 4 سيحدث بالتأكيد في التسلسل الناتج.

3. القضية الأولى هي الانقسام. أثبت أن 55k + 1 + 45k + 2 + 35k قابل للقسمة دائمًا على 11 بدون باقي (k هو عدد صحيح موجب).

4. المسألة الثانية هي الانقسام. إثبات: الرقم 3105 + 4105 قابل للقسمة على 13 و 49 و 181 و 379 ، لكن ليس على 5 و 11.

5. متماثل بشكل غريب. أشر إلى أنه بغض النظر عن كيفية استبدال المتغيرات x و y و z ، فإن قيمة التعبير تظل كما هي. قم بتغيير شكل هذا التعبير بحيث تكون هذه الخاصية مرئية بوضوح.

6. مشكلة هندسية قابلة للحل شفويا. لنفترض أن a و b و c هي أضلاع المثلث ، و A هي الزاوية المقابلة للضلع a ، و S هي الوجه. أثبت بدون استخدام حساب المثلثات: إذا كانت A = 600 ، إذا كانت A = 1200 ،

7. قضية عملية. يوجد لبنة بسيطة على طاولة بسيطة. ابحث فقط عن طريقة لقياس قطر الطوب بدون أي حسابات باستخدام قلم رصاص ومسطرة بطول 60 سم.

قضايا أولمبية

في 2012 مارس 31 ، استضاف فرع طشقند من جامعة موسكو الحكومية أولمبياد الرياضيات والمعلوماتية. حضره بشكل رئيسي طلاب المدارس الثانوية والكليات المهنية في طشقند. فيما يلي قضايا أولمبياد الرياضيات.

1. (5 نقاط) يتم تحديد الإجراء على الأعداد الحقيقية وفقًا للقاعدة. إذا كان الأمر كذلك ، فما أقصى قيمة للتعبير؟

2. (10 نقاط) أوجد آخر 8 أرقام من هذا المنتج (بالتدوين العشري).

3. (10 نقاط) أوجد عدد الحلول الكاملة غير السالبة للمعادلة.

4. (15 نقطة) - أرقام موجبة ، كم عدد الجذور الحقيقية التي يمكن أن يمتلكها إجمالي ثلاثة؟

5. (20 نقطة) يوجد 100 باب في الرواق. كل شيء معطلة في البداية. مفصلات الأبواب المرقمة بأرقام فردية بين 1 و 100 تفعل ما يلي بدورها: مفصل الباب المفصلي يغير موضع كل باب ، أي يفتح الباب المغلق ، يغلق الباب المفتوح. كم عدد الأبواب التي سيتم فتحها عندما يقوم جميع البوابين بعملهم في وقت واحد؟

6. (20 نقطة) تم إجراء تقاطعات AD و AE من نهاية A للمثلث متساوي الأضلاع AVS. في هذه الحالة ، تقع النقاط D و E على الجانب VS (بترتيب V ، D ، E ، S). إذا كان BD = 3، CE = 5 ، فأوجد VS.

7. (20 نقطة) الجدول مليء بالأرقام من 1 إلى 9 ، حيث تكون الأرقام في الخلايا المجاورة ، أي أن الأضلاع المشتركة أولية بشكل متبادل (أكبر قاسم مشترك يساوي 1). يجب أن يكون. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بذلك؟

الألعاب الرياضية

يحب Math الألعاب الأخرى الأكثر تحديدًا من الألعاب مثل الشطرنج والداما. في بعض الأحيان يخترعه بنفسه. يُنظر إلى ميزة مهمة لهذه الألعاب - سواء كانت تتطلب كتيبًا مضغوطًا أو كتيبًا كاملاً بدلاً من كونها لعبة - على أنها مسألة بحث. حل مثل هذه المشكلة هو عمل ممتع حقًا.

تلقى مشرف الموقع كتابا بالبريد. كان كتاب الألعاب الرياضية لزميله من إيجيفسك ، البروفيسور نيكولاي نيكاندروفيتش بيتروف. تم تخصيص فصل واحد من الكتاب للألعاب المتعلقة بالشرك. نظرًا لأن مثل هذه الأسئلة يتم تقديمها أيضًا في الأولمبياد الرياضي الدولي ، فنحن نعد قائمة بالمسائل على موقعنا.

1. يتم لعب اللعبة التالية بالمعادلة: يقول اللاعب الأول الرقمين الحقيقيين الذي يريده ، ويضع اللاعب الثاني هذه الأرقام بالترتيب الذي يريده بدلاً من المعاملات. إذا كان أحد الأرقام المذكورة هو جذر المعادلة الناتجة ، يفوز اللاعب الأول ، وإلا يفوز اللاعب الثاني. اكتشف من يستطيع البلع.

2. بالنظر إلى المعادلة. يقوم لاعبان بدورهما بطرح أحد المعاملات بمقدار 1. إذا كانت المعادلة التي تشكلت بعد مشي شخص ما لها الجذر الكامل ، فيُعتبر خاسرًا. ماذا يجب أن يفعل اللاعب الأول للفوز؟

3. هناك ملاحظة على السبورة. يقول اللاعب الأول أي ثلاثة أرقام حقيقية ، ويكتبها اللاعب الثاني بالترتيب الذي يريده بدلاً من النقاط الثلاث. إذا كانت المعادلة الناتجة لها جذرين منطقيين مختلفين ، يفوز اللاعب الأول ، وإلا سيفوز اللاعب الثاني. هنا ، أيضًا ، أثبت أن اللاعب الأول يمكنه الفوز دائمًا.

4. الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100 مكتوبة على السبورة. يتناوب لاعبان على حذف رقم واحد في كل مرة. يستمر هذا العمل حتى يتبقى رقمان على السبورة. عندما تحل هذه الأرقام محل معاملات المعادلة (بهذا الترتيب أو ذاك) ، يفوز اللاعب الأول إذا كانت المعادلة الناتجة لها جذور كاملة مختلفة ، وإلا سيفوز اللاعب الثاني. إثبات أن يد اللاعب الثاني في اللعبة مرتفعة.

5. المعادلة مكتوبة على لوحة المدرسة. يلعب طالبان مثل هذه اللعبة. يكتب اللاعب الأول الرقم الفعلي الذي يريده بدلاً من أحد المعاملات. يقوم اللاعب الثاني بعد ذلك بكتابة أي رقم حقيقي بدلاً من أحد المعاملات المتبقية. ثم مرة أخرى يكتب اللاعب الأول رقمًا حقيقيًا بدلاً من المعامل المتبقي. إذا كانت المعادلة الناتجة لها ثلاثة جذور حقيقية مختلفة ، يفوز اللاعب الأول ، وإلا سيفوز اللاعب الثاني. أثبت أن اللاعب الأول في هذه اللعبة يمكنه الفوز دائمًا.

6. دعنا نغير حالة اللعبة أعلاه على النحو التالي: إذا كانت المعادلة الناتجة لها جذر حقيقي واحد ، يفوز اللاعب الأول ، وإلا - اللاعب الثاني. هل يمكن للاعب الأول أن يفوز دائمًا في هذه اللعبة أيضًا؟

7. دع اللاعب الأول يختار معاملين في وقت واحد في الحركة الأولى (أي إذا كتب رقمًا حقيقيًا بدلاً من ذلك) ، ثم دع اللاعب الثاني يختار المعامل المتبقي. إذا كانت المعادلة الناتجة لها جذر متعدد ، يفوز اللاعب الأول باللاعب الثاني. في هذه اللعبة أيضًا ، أثبت أن اللاعب الأول يمكنه الفوز دائمًا.

8. تعتبر المعادلة التالية:. وضع اللاعبان عددًا صحيحًا غير صفري بدلاً من الاحتمالات. يتم ذلك أولاً بواسطة اللاعب الأول بمعامل واحد ، ثم بواسطة اللاعب الثاني بالمعاملات الثلاثة المتبقية. إذا كانت المعادلة الناتجة تحتوي على حلين كاملين على الأقل ، يفوز اللاعب الثاني ، وإلا سيفوز اللاعب الأول. إثبات أن أول لاعب في هذه اللعبة يمكنه الفوز.

9. في المعادلة أعلاه ، يضع اللاعبون الأعداد الصحيحة بدورها بدلاً من المعاملات. إذا كانت المعادلة الناتجة لها جذر كامل ، دع اللاعب الثاني يفوز. حدد من سيفوز باللعبة.

10. يعتبر الكثير. يتناوب اللاعبان على وضع الأعداد الصحيحة في المعاملات. إذا تم تقسيم جميع قيم كثير الحدود الناتج على 6 بدون باقي ، يفوز اللاعب الأول ، وإلا يفوز اللاعب الثاني. إثبات أن اللاعب الأول يمكنه دومًا البلع.

 

"تشارلز تريج. قضايا جيز "

1. يمكن أن ينتشر الرقم 3 إلى أرقام موجبة بأربع طرق مختلفة: 3 ، 2 + 1 ، 1 + 2 ، 1 + 1 + 1. إثبات أن الرقم التعسفي يمكن تقسيمه إلى أرقام موجبة بطريقة مماثلة.

2. يُلف سلك حول أسطوانة ارتفاعها ٩ سم وطولها ٤ سم عند القاعدة. يخرج السلك من أحد طرفي صانع الأسطوانة ، ويلتف 9 مرات ، وينتهي في الطرف الآخر من ذلك المصنع. أوجد طول السلك.

3. استعادة القسم:

******** | *** ___

 

*** __ ** 8 **

 

****

 

*** __

****

****

 

33. هل يمكنك الاتصال شفهياً بـ 5؟

40. أوجد عددين بحيث يكون الفرق والنسبة 5.

42. أثبت أن roppa-rosa لا يمكن أن يكون مضلعًا له 7 حواف.

72. إذا كانت ثلاثة أرقام هي أضلاع المثلث (بمعنى الطول) ، فيمكن أيضًا أن تكون جذورها التربيعية هي أضلاع المثلث. إذا كان الخط المستقيم من أحد طرفي المثلث يساوي متوسطين من الطرف الآخر ، فإنه يتقاطع مع ثلث ضلع المثلث عند المتابعة.

86. يتم تحديد نقطة عشوائية من الدائرة المرسومة داخل المثلث متساوي الأضلاع. إذا تحركت هذه النقطة في دائرة ، فإن مجموع المسافات منها إلى نهايات المثلث لا يتغير. اثبت ذلك.

100. الدائرة مقسمة إلى 10 أجزاء متساوية. إذا كانت نقاط الانقسام المجاورة متصلة عن طريق التقاطعات ، يتم تشكيل زاوية 10 منتظمة ، إذا كانت هذه النقاط متصلة بإسقاط نقطتين ، يتم تكوين مستطيل على شكل نجمة. برهن على أن الفرق بين جانبي هذين المستطلين يساوي نصف قطر الدائرة.

127. إثبات أن قيمة التعبير عن كل تعسفي موجب قابلة للقسمة على 8640 بدون باقي.

218. رجل يسير من المنزل إلى مكتبه ويعود بالحافلة ، ويقضي ما مجموعه نصف ساعة على الطريق. إذا ركبت الحافلة في كلا الاتجاهين ، فستستغرق نصف ساعة. لذا ، إذا سار من المنزل إلى العمل ، ومن العمل إلى المنزل ، فكم من الوقت سيستغرقه التنقل؟ (يجب حل المشكلة دون استخدام الجبر!)

227. الزاوية في نهاية مثلث متساوي الأضلاع هي S = 20 °. وتم تحديده بحيث تكون الجوانب والنقاط. اثبات ذلك. (يجب حل المشكلة بدون حساب المثلثات!)

248. قسّم الدائرة إلى أربع قطع متساوية. (يجب حل المشكلة فقط بمساعدة البوصلات!)

305. لجعل المثلث متساوي الأضلاع

إثبات أن المعادلة ضرورية وكافية (- مثلثات).

326. كيف تتصل بالمنطق؟ هنا مثال للتجربة. دع العبارة التي تفيد بأن "عنصرين على الأقل من المجموعة V تنتمي إلى المجموعة A" تكون غير صحيحة. ما هو الاستنتاج حول المجموعة V من هذا؟

357. ماذا عن الميكانيكا؟ يرجى المحاولة بنفسك. يكمن طول قضيب حديدي (أي مقطع عرضي به كتلة) في حالة توازن في وعاء أملس تمامًا (احتكاك يساوي 0) على شكل نصف كرة. إذا تم تدريب المرجل في وضع أفقي ، في أي وضع سيتم وضع القضيب؟