Questions intéressantes

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Pour tous les âges

1) Son frère a pensé à l'un des chiffres de 1 à 9. Combien de questions son frère peut-il lui trouver en répondant soit « Oui » soit « Non » ? Pourquoi ne pouvez-vous pas le trouver avec moins de questions ?

2) Son frère a pensé à l'un des nombres de 1 à 7. Son frère lui demande d'effectuer quatre opérations arithmétiques sur le nombre auquel il pense. Il peut une fois demander quel a été le résultat. De cette façon, son frère peut-il trouver le nombre auquel son frère pense ? Combien d'opérations arithmétiques peut-il trouver après ?

3) Son frère pense à l'un des nombres 1, 2, 3. Son frère peut lui poser une question. Son frère lui dit l'une des réponses, "Oui", "Non" ou "Je ne sais pas". Un frère peut-il trouver le nombre auquel son frère pense avec une seule question ?

4) Si le frère pense à l'un des nombres 1 à 4 et peut répondre à la question du frère par "Oui", "Non", "Je peux dire la réponse demain" ou "Je ne sais pas", le frère demande au frère une question Pouvez-vous trouver le numéro que vous cherchez?

5) Créez un problème comme le 1 pour un cas où votre frère pense à l'un des nombres de 5 à 4.

PROBLÈMES H.SHTEINHAUZ

Hugo Steinhaus (1887-1972) était un célèbre mathématicien polonais. Il a mené des recherches dans plusieurs domaines modernes des mathématiques et a écrit des livres intéressants pour les élèves et les étudiants. En particulier, son livre "Mathematical Kaleidoscope" a été traduit dans plus d'une douzaine de langues et a été réimprimé.

Vous trouverez ci-dessous une sélection du livre de H. Steinhaus A Hundred Matters. À bien des égards, ces numéros se distinguent par leur originalité. Le fait que certaines d'entre elles demandent de l'ingéniosité et soient à la base de recherches, même modestes, est très utile pour les jeunes qui aiment les mathématiques.

1. Exercice avec table de multiplication. Considérez la séquence suivante :

2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8,…

Il est structuré comme suit :

2 ; 3 ; 2 × 3 = 6 ; 3 × 6 = 18 1, 8 ; 6 × 1 = 6 ; 1 × 8 = 8 ; 8 × 6 = 48 4, 8 ; …

En voici un peu plus : 6 × 8 = 48 4, 8 ; 8 × 4 = 32 3, 2 ; 4 × 8 = 32 3, 2 ; …

Ainsi, les nombres côte à côte sont multipliés. Dans ce cas, si un nombre à un chiffre est formé, il est écrit après les nombres écrits, si un nombre à deux chiffres est sorti, les nombres sont écrits dans le même ordre.

H. Steinhaus propose de prouver que les nombres 5, 7, 9 n'apparaissent jamais dans cette séquence.

2. Système dynamique. Dans le système de numération décimale, nous obtenons un entier positif arbitraire (par exemple, 2538) et additionnons les carrés de ses nombres (par exemple, 22 +52 +32 +82 = 102). On répète la même opération avec la somme résultante (12 +02 +22 + 5), etc. (52 = 25, 22 +52 = 29, 22 +92 = 85,…)

Quel que soit le nombre initialement obtenu, prouvez que 1 ou 4 apparaîtront certainement dans la séquence résultante.

3. Le premier problème est la division. Montrer que 55k + 1 + 45k + 2 + 35k est toujours divisible par 11 sans reste (k est un nombre entier positif).

4. Le deuxième problème est la division. Démontrer : Le nombre 3105 + 4105 est divisible par 13, 49, 181 et 379, mais pas par 5 et 11.

5. Expression étrangement symétrique. Indiquez que peu importe comment les variables x, y, z sont remplacées, la valeur de l'expression reste la même. Modifiez la forme de cette expression afin que cette propriété soit clairement visible.

6. Un problème géométrique résoluble oralement. Soient a, b, c les côtés d'un triangle, A l'angle opposé au côté a et S la face. Prouver sans utiliser la trigonométrie : si ÐA = 600, si A = 1200,

7. Question pratique. Il y a une simple brique sur une simple table. Il suffit de trouver un moyen de mesurer la diagonale d'une brique sans aucun calcul à l'aide d'un crayon et d'une règle de 60 cm de long.

QUESTIONS OLYMPIQUES

Le 2012 mars 31, la branche de Tachkent de l'Université d'État de Moscou a accueilli l'Olympiade de mathématiques et d'informatique. Il a été suivi principalement par des étudiants des lycées universitaires et des collèges professionnels de Tachkent. Vous trouverez ci-dessous les numéros des Olympiades mathématiques.

1. (5 points) L'action sur les nombres réels est déterminée selon la règle. Si oui, quelle est la valeur maximale de l'expression ?

2. (10 points) Trouvez les 8 derniers chiffres de ce produit (en notation décimale).

3. (10 points) Déterminer le nombre de solutions entières non négatives de l'équation.

4. (15 points) - Nombres positifs, combien de racines réelles un total de trois peut-il avoir au total ?

5. (20 points) Il y a 100 portes dans le couloir. Tout est éteint au départ. Les charnières de porte numérotées avec des nombres impairs entre 1 et 100 effectuent tour à tour : la charnière de porte battante modifie la position de chaque porte, c'est-à-dire ouvre la porte fermée, ferme la porte ouverte. Combien de portes seront ouvertes quand tous les portiers auront fait leur travail en même temps ?

6. (20 points) Les intersections AD et AE ont été faites à partir de l'extrémité A du triangle équilatéral AVS. Dans ce cas, les points D, E sont du côté VS (dans l'ordre V, D, E, S),. Si BD = 3, CE = 5, trouvez VS.

7. (20 points) Le tableau est rempli de nombres de 1 à 9, où les nombres dans les cellules avec des côtés adjacents, c'est-à-dire communs, sont premiers entre eux (le plus grand diviseur commun est égal à 1). Combien de façons cela peut-il être fait?

JEUX MATHÉMATIQUES

Math aime d'autres jeux plus spécifiques que des jeux comme les échecs et les dames. Parfois, il l'invente lui-même. Une caractéristique importante de ces jeux - qu'ils nécessitent une brochure compacte ou complète plutôt qu'un jeu - est considérée comme une question de recherche. Résoudre un tel problème est un travail vraiment amusant.

Le superviseur du site a reçu un livre par la poste. C'était le livre Mathematical Games de son collègue d'Izhevsk, le professeur Nikolai Nikandrovich Petrov. Un chapitre du livre est consacré aux jeux liés au polythéisme. Étant donné que de telles questions sont également posées dans les olympiades mathématiques internationales, nous préparons une liste de problèmes sur notre site.

1. le jeu suivant se joue avec l'équation : le premier joueur dit les deux nombres réels qu'il veut, le deuxième joueur place ces nombres dans l'ordre qu'il veut à la place des coefficients. Si l'un desdits nombres est la racine de l'équation résultante, le premier joueur gagne, sinon le deuxième joueur. Découvrez qui peut avaler.

2. étant donné l'équation. Deux joueurs soustraient à tour de rôle l'un des coefficients de 1. Si l'équation formée après la marche de quelqu'un a la racine entière, il est considéré comme un perdant. Que doit faire le premier joueur pour gagner ?

3. Il y a une note au tableau. Le premier joueur dit trois nombres réels, et le deuxième joueur les écrit dans l'ordre qu'il veut au lieu des trois points. Si l'équation résultante a deux racines rationnelles différentes, le premier joueur gagne, sinon le deuxième joueur gagne. Ici aussi, prouvez que le premier joueur peut toujours gagner.

4. Les nombres naturels de 1 à 100 sont écrits sur le tableau noir. Deux joueurs suppriment à tour de rôle un numéro à la fois. Ce travail se poursuit jusqu'à ce qu'il reste deux numéros sur le tableau. Lorsque ces nombres remplacent les coefficients de l'équation (dans tel ou tel ordre), le premier joueur gagne si l'équation résultante a des racines entières différentes, sinon le deuxième joueur gagne. Prouvez que la main du deuxième joueur dans le jeu est élevée.

5. L'équation est écrite sur le tableau de l'école. Deux élèves jouent à un tel jeu. Le premier joueur écrit le nombre réel qu'il veut au lieu d'un des coefficients. Le deuxième joueur écrit alors n'importe quel nombre réel au lieu de l'un des coefficients restants. Là encore, le premier joueur écrit un nombre réel au lieu du coefficient restant. Si l'équation résultante a trois racines réelles différentes, le premier joueur gagne, sinon le deuxième joueur gagne. Prouvez que le premier joueur de ce jeu peut toujours gagner.

6. Modifions la condition du jeu ci-dessus comme suit : si l'équation résultante a une racine réelle, le premier joueur gagne, sinon - le deuxième joueur. Le premier joueur peut-il toujours gagner dans ce jeu également ?

7. Le premier joueur sélectionne deux coefficients à la fois au premier coup (c'est-à-dire s'il écrit un nombre réel à la place), puis le deuxième joueur sélectionne le coefficient restant. Si l'équation résultante a une racine multiple, le premier joueur gagne autrement le deuxième joueur. Dans ce jeu aussi, prouvez que le premier joueur peut toujours gagner.

8. L'équation suivante est considérée :. Les deux joueurs mettent un entier non nul à la place de la cote. Ceci est fait d'abord par le premier joueur avec un coefficient, puis par le deuxième joueur avec les trois coefficients restants. Si l'équation résultante a au moins deux solutions entières, le deuxième joueur gagne, sinon le premier joueur gagne. Prouvez que le premier joueur de ce jeu peut gagner.

9. Dans l'équation ci-dessus, les joueurs mettent tour à tour des nombres entiers au lieu de coefficients. Si l'équation résultante a une racine entière, laissez le deuxième joueur, sinon le premier joueur gagne. Déterminez qui gagnera la partie.

10. beaucoup sont considérés. Les deux joueurs insèrent à tour de rôle des nombres entiers dans les coefficients. Si toutes les valeurs du polynôme résultant sont divisées par 6 sans reste, le premier joueur, sinon le deuxième joueur gagne. Prouver que le premier joueur peut toujours avaler.

 

"Charles Trigg. Problèmes de Jiz ”

1. Le nombre 3 peut être étendu aux nombres positifs de quatre manières différentes : 3, 2 + 1, 1 + 2, 1 + 1 + 1. Démontrer qu'un nombre arbitraire peut être divisé en nombres positifs de la même manière.

2. Un fil est enroulé autour d'un cylindre de 9 cm de haut et de 4 cm de long à la base. Le fil sort d'une extrémité d'un fabricant de cylindres, tourne 10 fois et se termine à l'autre extrémité de ce fabricant. Trouver la longueur du fil.

3. Restaurez la partition :

******** | *** ___

 

*** __ ** 8 **

 

****

 

*** __

****

****

 

33. Pouvez-vous appeler verbalement le 5 746 320 819 125 ?

40. Trouver deux nombres tels que la différence et le rapport soient 5.

42. Montrer que roppa-rosa ne peut pas être un polygone à 7 arêtes.

72. Si trois nombres sont les côtés d'un triangle (au sens de la longueur), leurs racines carrées peuvent aussi être les côtés d'un triangle. Si une ligne droite d'une extrémité d'un triangle est égale à deux médianes de l'autre extrémité, elle coupe un tiers du côté du triangle lorsqu'elle continue.

86. Un point arbitraire est sélectionné dans le cercle tracé à l'intérieur du triangle équilatéral. Si ce point se déplace dans un cercle, la somme des distances de celui-ci aux extrémités du triangle ne change pas. Prouve le.

100. Le cercle est divisé en 10 parties égales. Si les points divisés adjacents sont reliés par des intersections, un angle régulier de 10 est formé, si ces points sont reliés en en laissant tomber deux, un rectangle en forme d'étoile est formé. Montrer que la différence des côtés de ces rectangles est égale au rayon du cercle.

127. Montrer que la valeur d'une expression pour un entier positif arbitraire est divisible par 8640 sans reste.

218. Un homme marche de chez lui à son bureau et revient en bus, passant au total une demi-heure sur la route. Si vous prenez le bus dans les deux sens, cela prendra une demi-heure. Donc, s'il marche de la maison au travail, du travail à la maison, combien de temps lui faudra-t-il pour se déplacer ? (Le problème doit être résolu sans recourir à l'algèbre !)

227. L'angle au bout d'un triangle équilatéral est S = 20°. et sélectionné de sorte que les côtés et les points seront. Prouvez-le. (Le problème doit être résolu sans trigonométrie !)

248. Divisez le cercle en quatre morceaux égaux. (Le problème ne devrait être résolu qu'à l'aide de boussoles !)

305. Rendre le triangle équilatéral

Démontrer que l'équation est nécessaire et suffisante (–triangles).

326. Quel rapport avez-vous avec la logique ? Voici un exemple à essayer. Supposons que l'affirmation selon laquelle "au moins deux éléments de l'ensemble V appartiennent à l'ensemble A" soit incorrecte. Quelle est la conclusion à propos de l'ensemble V à partir de cela ?

357. Qu'en est-il de la mécanique ? Veuillez l'essayer vous-même. Une tige de fer de longueur (c'est-à-dire une section transversale avec masse) se trouve en équilibre dans un pot absolument lisse (frottement égal à 0) en forme d'hémisphère. Si la chaudière est entraînée en position horizontale, dans quelle position la tige sera-t-elle placée ?