Théorème de Bezu. Régime Horner

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La racine du polynôme. Théorème de Bezu. Régime Horner
                       Plan:
  1. La racine du polynôme
  2. Théorème de Bezu
  3. Régime Horner
   f(x)=unenxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0  être donné beaucoup.
Description. Si la valeur du polynôme f(x) devient nulle à une valeur a de la variable x, ce nombre a est appelé racine du polynôme f(x).
 Pour déterminer les racines du polynôme f(x), il faut le résoudre égal à XNUMX. Les racines de cette équation sont aussi les racines du polynôme f(x).
Exemple 1 f(x)=x4-13x2Trouvez les racines du polynôme +36.
Résoudre. X4-13x2+36 x4-4x2 -9x2+36=0 (x2-4)(x2-9)=0. Cette équation se décompose en deux équations :
1)x2-4=0 (x-2)(x+2)=0
2)x2-9=0  (x-3)(x+3)=0
Les racines du polynôme donné sont : -3;-2;2;3.
Exemple 2. f(x)=2x5+x4-10x3-5x2Trouvez les racines du polynôme +8x+4=0.
 Résoudre. 2x5+x4-10x3-5x2On résout l'équation +8x+4=0.
2x5-4x4+ 5x4-10x3-5x2+10x-2x+4=0
2x4(x-2)+5x3(x-2)-5x(x-2)-2(x-2)=0
(x-2)(2x4+ 5x3-5x-2)=0
(x-2)[2x4+ 2x3+ 3x3+ 3x2-3x2-3x-2x-2]=0
(x-2)(x+1)(2x3+ 3x2-3x-2]=0
(x-2)(x+1)(x-1)(2x2+5x+2)=0
(x-2)(x+1)(x-1)(2x+1)(x+2)=0
x1=-0,5 ; X2=-2 ;x3=-1 ; X4= 2.
Ainsi, les racines du polynôme donné sont -0,5 ; -2;-1; 2 le seront.
Théorème de Bezu. f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0    (a0) le reste de la division du polynôme x en deux termes est égal à la valeur du polynôme lorsque x=a :
                                    r = f(une) =
Le résultat. Un nombre a est racine de f(x) si et seulement si le polynôme f(x) est divisible par x.
Un exemple. f(x)=x3-1 est divisible par le polynôme x=1. Puisque x=1 le nombre f(x)= x3-1 est la racine du polynôme, c'est-à-dire f(1)=0
Trouver les racines d'un polynôme f(x) est aussi puissant que trouver ses diviseurs linéaires sous la forme x.
Exemples:
1)x2-a2  le double est divisible à la fois par xa et x+a ;
2)x2+a2      le couple n'est pas divisible par xa ou x+a ;
3)x3-a3  ikihad ikihad n'est pas divisible par xa ou x+a;
Schéma de Horner.   fx)=unnxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0  nous montrons le schéma dit de Horner (William Horner (1786-1837) - mathématicien anglais) pour calculer le reste de la division x-binomiale du polynôme.
   Soit f(x)=q(x)(xa)+r (1).
  Ici q(x)= b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+...+bn-1.  
  En égalant les coefficients devant les mêmes niveaux de x dans (1), on obtient :
              a0=b0
                       a1=b1-b0
            a2=b2-b1
            ...
            an-1=bn-1-bn-2
             an=r — bn-1
il semble que b0=a0, pk=bn-1 +ak, k=1,2,3,..., n-1, r=-bn-1.
  Le calcul du quotient et du reste se trouve à l'aide du tableau ci-dessous.
a0
a1
an-2
...
an-1
an
b0+a1
b1+a2
...
bn-2+an-1
bn-1+an
b0= A0
b1
          b2
bn-1
r
Ce schéma est appelé schéma de Gorner.
Exemple 1. X3+ 4x2Divisez le polynôme -3x+5 par x-1 en utilisant le schéma de Gorner.
1
4
-3
5
1
1
5
2
7
   Alors,  x3+ 4x2-3x+5=(x-1)(x2+5x+2)+7.
   Il résulte du théorème de Bezou que le reste r, qui est formé en divisant le polynôme f(x) en un binôme de la forme ax+b, est égal à f.
Exemple 2. P(x)=x3-3x2Trouvez le reste de la division de +5x+7 par 2x+1.
  Résoudre. Le reste est r=P.
Exemple 3. P4(x) = x4+x3+ 3x2Trouver le reste de la division du polynôme +2x+2 par x-1
D'après le théorème de Bezu :
P4(1) = 1+1+3+2+2 = 9
Exemple 4 : P2(x) = x3+ 2x2+ oui2 Si le reste de la division du polynôme par x-2 est 8, trouvez ani.
P2(2) = 23+42+2-un2= 8
a2= 10
un= —
a=
Réponse : a=
Exemple 5 : P5(x)= 2x5 -X4-3x3Trouvez le reste de la division +x-3 par x-3.
P5(x) = (x-3) (2x4+ 5x3+ 12x2+36 x+109) +324
2
-1
-3
0
1
-3
3∙2
3∙5
3∙12
3∙36
3∙109
C = 3
2
5
12
36
109
324
Théorème. Si un nombre P(x) est racine d'un polynôme, alors P(x) est divisible par le polynôme x- sans reste.
Expressions de base: polynôme, racine, Bezu, Gorner
Questions de contrôle :
  1. Diviser un polynôme par un reste
  2. Théorème de Bezu
  3. Régime Horner
Missions
Exemple 1. F(x)=2x5+x4-10x3-5x2Trouvez les racines du polynôme +8x+4.
Exemple 2. F(x)=x4-13x2Trouvez les racines du polynôme +36.
Exemple 3. En utilisant le schéma de Gorner, trouvez la valeur du polynôme f(x) au point x=a.
 1) f(x)= ; 2) f(x)= ; 3) f(x)=
Questions de contrôle :
  Réduire les fractions :
  4.  miso l.
simplifier l'expression.
Y résout h. Nous simplifions l'expression donnée en fonction des étapes d'action et des règles de leur exécution :
5-miso l. simplifier l'expression.
Y résout h. a > 0 quand a-r En utilisant la relation = (0 < r ê Q), on simplifie l'expression donnée :
1) 1 + — +
                             Les références:
  1. "Fondements de l'algèbre et de l'analyse" RH Vafoyev. 349pages,
  2. A. Abduhamidov "Une collection de problèmes des bases de l'algèbre et de l'analyse mathématique" pages 48-52.
  3. A. Abduhamidov "Fondements de l'algèbre et de l'analyse mathématique"
  4. A. Melikulov "Mathématiques" Partie I, pages 89-93
P3(x) = x3-3x2Trouvez le reste de la division +5x +7 par 2x+1.
Le polynôme P(x) divise-t-il le polynôme D(x).
  1. a) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x-1
  2. b) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x+1
  3. c) P(x) = x100 –3x+2 D(x) = x2-1
m 3x à quelles valeurs de3-4x2-m2Le polynôme x-2 est-il divisible par x-2 sans reste
m 3x à quelles valeurs de3-4x2Le polynôme -mx-1 n'est pas divisible par x+1.

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