ДОСТОР МЕНЕН АКЫСЫЗ:
Бардык курактагылар үчүн
1) Агасы 1ден 9га чейинки сандардын бирин ойлоду. Агасы ага "ооба" же "жок" деп жооп берип, канча суроо таба алат? Эмне үчүн азыраак суроолор менен таба албайсыз?
2) Агасы 1ден 7ге чейинки сандардын бирин ойлоду. Агасы андан ойлогон санга төрт арифметикалык амал жасоону суранат. Ал бир жолу анын натыйжасы кандай болгонун сурашы мүмкүн. Ушундай жол менен иниси ойлогон номерди бир тууганы таба алабы? Ал канча арифметикалык амалдарды таба алат?
3) Агасы 1, 2, 3 сандарынын бирин ойлойт. Агасы ага бир суроо берсе болот. Агасы ага "ооба", "жок" же "билбейм" деген жооптордун бирин айтат. Бир тууган агасы ойлогон санды бир суроо менен таба алабы?
4) Эгерде бир тууган 1ден 4кө чейинки сандардын бирин ойлоп, бир тууганынын суроосуна "ооба", "жок", "жоопту эртең айта алам" же "билбейм" деп жооп берсе, бир тууган брат бир суроо.сиз издеген номерди таба аласызбы?
5) Бир тууганыңыз 1ден 5ке чейинки сандардын бирин ойлогон учур үчүн 4-чүдөй маселе түзүңүз.
Х.ШТЕЙНХАУЗ МАСЕЛЕЛЕРИ
Уго Штайнгаус (1887-1972) поляк атактуу математики болгон. Ал математиканын бир нече заманбап тармактарында изилдөөлөрдү жүргүзүп, окуучулар жана студенттер үчүн кызыктуу китептерди жазган. Атап айтканда, анын "Математикалык калейдоскоп" китеби ондон ашык тилге которулуп, кайра басылып чыккан.
Төмөндө Х.Штайнгаустун “Жүз маселе” китебинен тандалып алынган. Бул маселелер көп жагынан оригиналдуулугу менен көңүл бурат. Алардын айрымдары тапкычтыкты талап кылып, кичине болсо да изилдөөгө негиз болуп жатканы математиканы сүйгөн жаштар үчүн абдан пайдалуу.
- Көбөйтүү таблицасы менен көнүгүү. Төмөнкү ырааттуулукту карап көрөлү:
2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8,…
Ал төмөнкүдөй структураланган:
2; 3; 2 × 3 = 6; 3 × 6 = 18 1, 8; 6 × 1 = 6; 1 × 8 = 8; 8 × 6 = 48 4, 8; …
Бул жерде дагы бир аз: 6 × 8 = 48 4, 8; 8 × 4 = 32 3, 2; 4 × 8 = 32 3, 2; …
Ошентип, жанаша сандар көбөйөт. Мында бир орундуу сан түзүлсө, жазылган сандардан кийин жазылат, эки орундуу сан чыкса, сандар бирдей тартипте жазылат.
Х.Штайнгаус 5, 7, 9 сандары бул катарда эч качан келбей турганын далилдөөнү сунуш кылат.
- Динамикалык система. Ондук сан системасында биз ыктыярдуу оң бүтүн санды алабыз (мисалы, 2538) жана анын сандарынын квадраттарын кошобуз (мисалы, 22 +52 +32 +82 = 102). Ошол эле операцияны натыйжадагы сумма менен кайталайбыз (12 +02 +22 + 5) ж.б. (52 = 25, 22 +52 = 29, 22 +92 = 85,…)
Башында алынган санга карабастан, 1 же 4 сөзсүз түрдө түзүлө турган ырааттуулукта болоорун далилдеңиз.
- Биринчи маселе - бөлүнүү. 55k + 1 + 45k + 2 + 35k дайыма 11ге калдыксыз бөлүнөөрүн далилдегиле (k - бүтүн оң сан).
- Экинчи маселе - бөлүнүү. Далилдөө: 3105 + 4105 саны 13, 49, 181 жана 379га бөлүнөт, бирок 5 жана 11ге бөлүнбөйт.
- Кызык симметриялуу көрүнүш. x, y, z өзгөрмөлөрү кандайча алмаштырылбасын, туюнтма мааниси ошол бойдон кала берерин көрсөт. Натыйжа даана көрүнүп тургандай, бул туюнтма формасын так өзгөртүңүз.
- Оозеки чечилүүчү геометриялык маселе. Үч бурчтуктун тараптары a, b, c, а жагына карама-каршы бурч А, ал эми S бети болсун. Тригонометрияны колдонбой далилдегиле: эгерде ÐA = 600, эгерде A = 1200 болсо,
- Практикалык маселе. Жөнөкөй столдун үстүндө жөнөкөй кирпич бар. Жөн гана карандаш жана 60 см узундуктагы сызгыч менен эч кандай эсептөөлөрсүз кирпичтин диагоналын ченөөнүн жолун табыңыз.
ОЛИМПИАДА МАСЕЛЕЛЕРИ
2012-жылдын 31-мартында Москва мамлекеттик университетинин Ташкенттеги филиалында математика жана информатика боюнча олимпиада болуп өттү. Ага негизинен Ташкент шаарындагы академиялык лицейлердин жана кесиптик колледждердин студенттери катышты. Төмөндө математикалык олимпиадалардын маселелери.
- (5 упай) Чыныгы сандар боюнча иш эреже боюнча аныкталат. Андай болсо, туюнтумдун максималдуу мааниси канча?
- (10 упай) Бул продукттун акыркы 8 цифрасын табыңыз (ондук санда).
- (10 упай) Теңдеменин терс эмес бүтүн чечимдеринин санын аныктагыла.
- (15 упай) - Оң сандар, бардыгы үчөөнүн канча чыныгы тамыры болушу мүмкүн?
- (20 упай) Коридордо 100 эшик бар. Башында баары өчүк. 1ден 100гө чейинки так сандар менен номурланган эшик илгичтери өз кезегинде төмөнкүлөрдү аткарат: илгичтүү эшиктин илмектери ар бир эшиктин абалын өзгөртөт, б.а. жабык эшикти ачат, ачык эшикти жабат. Бардык дарбазачылар бир убакта өз ишин бүтүргөндөн кийин канча эшик ачык болот?
- (20 упай) AD жана AE кесилиштери AVS тең капталдуу үч бурчтуктун А учунан жасалган. Мында D, E чекиттери VS тарапта (V, D, E, S тартибинде) жатат. Эгерде BD = 3, CE = 5 болсо, VS табыңыз.
- (20 упай) Таблица 1ден 9га чейинки сандар менен толтурулат, мында чектеш, башкача айтканда, жалпы тараптары бар уячалардагы сандар өз ара жөнөкөй (эң чоң жалпы бөлүүчү 1ге барабар) болот). Муну канча жол менен жасоого болот?
МАТЕМАТИКАЛЫК ОЮНДАР
Математика шахмат жана шашки сыяктуу оюндарга караганда башка, өзгөчө оюндарды жакшы көрөт. Кээде өзү ойлоп табат. Мындай оюндардын маанилүү бир өзгөчөлүгү - алар оюн катары эмес, компакт же автобустук брошюра керекпи - изилдөө маселеси катары каралат. Мындай маселени чечүү чынында эле кызыктуу иш.
Сайттын жетекчиси почта аркылуу китеп алган. Бул анын Ижевскидеги кесиптеши, профессор Николай Никандрович Петровдун «Математикалык оюндар» китеби болчу. Китептин бир бөлүмү ширк менен байланышкан оюндарга арналган. Мындай суроолор эл аралык математикалык олимпиадаларда да берилгендиктен, сайтыбызда маселелердин тизмесин даярдап жатабыз.
- теңдеме менен төмөнкү оюн ойнолот: биринчи оюнчу өзү каалаган эки реалдуу санды айтат, экинчи оюнчу бул сандарды коэффициенттердин ордуна өзү каалаган тартипте жайгаштырат. Эгерде айтылган сандардын бири натыйжадагы теңдеменин тамыры болсо, биринчи оюнчу утат, антпесе экинчи оюнчу утат. Ким жута аларын билгиле.
- теңдеме берилген. Эки оюнчу өз кезегинде коэффициенттердин бирин 1ге кемитет. Эгерде кимдир-бирөөнүн баскан-турганынан кийин түзүлгөн теңдеме бүт түбүнө ээ болсо, ал утулган деп эсептелет. Биринчи оюнчу жеңүү үчүн эмне кылышы керек?
- Тактада жазуу бар. Биринчи оюнчу каалаган үч реалдуу санды айтат, экинчи оюнчу аларды үч чекиттин ордуна каалаган тартипте жазат. Эгерде алынган теңдеме эки башка рационалдуу тамырга ээ болсо, биринчи оюнчу утат, антпесе экинчи оюнчу утат. Бул жерде да биринчи оюнчу дайыма жеңе аларын далилдеңиз.
- 1ден 100гө чейинки натурал сандар доскага жазылат. Эки оюнчу кезектешип бир номерди өчүрүшөт. Бул иш тактада эки сан калганга чейин уланат. Бул сандар теңдеменин коэффициенттерин алмаштырганда (тигил же тигил тартипте), эгерде пайда болгон теңдеменин бүтүн тамыры ар башка болсо, биринчи оюнчу утат, антпесе экинчи оюнчу утат. Оюндун экинчи оюнчусунун колу жогору көтөрүлүп жатканын далилдеңиз.
- Теңдеме мектептин доскасына жазылат. Мындай оюнду эки окуучу ойнойт. Биринчи оюнчу коэффициенттердин биринин ордуна өзү каалаган чыныгы санды жазат. Андан кийин экинчи оюнчу калган коэффициенттердин биринин ордуна каалаган реалдуу санды жазат. Андан кийин дагы биринчи оюнчу калган коэффициенттин ордуна реалдуу санды жазат. Эгерде алынган теңдеменин үч башка чыныгы тамыры болсо, биринчи оюнчу утат, антпесе экинчи оюнчу утат. Бул оюндун биринчи оюнчусу ар дайым жеңе аларын далилдеңиз.
- Жогорудагы оюндун шартын төмөнкүдөй өзгөртөлү: эгерде алынган теңдеме бир чыныгы тамырга ээ болсо, биринчи оюнчу утат, антпесе - экинчи оюнчу. Бул оюнда да биринчи оюнчу дайыма жеңе алабы?
- Биринчи кадамда биринчи оюнчу бир эле учурда эки коэффициентти тандап алсын (б.а. анын ордуна реалдуу санды жазса), андан кийин экинчи оюнчу калган коэффициентти тандасын. Эгерде алынган теңдеме бир нече тамырга ээ болсо, биринчи оюнчу экинчи оюнчуну жеңет. Бул оюнда да биринчи оюнчу дайыма жеңе аларын далилдеңиз.
- Төмөнкү теңдеме каралат:. Эки оюнчу коэффициенттин ордуна нөл эмес бүтүн санды коюшат. Муну адегенде бир коэффициент менен биринчи оюнчу, андан кийин калган үч коэффициент менен экинчи оюнчу аткарат. Эгерде алынган теңдеменин кеминде эки бүтүн чечими бар болсо, экинчи оюнчу утат, антпесе биринчи оюнчу утат. Бул оюндун биринчи оюнчусу жеңе аларын далилдеңиз.
- Жогорудагы теңдемеде оюнчулар коэффициенттердин ордуна бүтүн сандарды кезек менен коюшат. Эгерде алынган теңдеме бүтүн тамырга ээ болсо, экинчи оюнчуга уруксат бериңиз, антпесе биринчи оюнчу утат. Оюнду ким жеңе турганын аныктаңыз.
- көп каралат. Эки оюнчу кезек менен бүтүн сандарды коэффициенттерге киргизишет. Эгерде алынган көп мүчөнүн бардык маанилери 6га калдыксыз бөлүнсө, биринчи оюнчу, антпесе экинчи оюнчу утат. Биринчи оюнчу дайыма жута аларын далилдеңиз.
«Чарльз Триг. Жиз маселелери”
- 3 санын оң сандарга төрт түрдүү жол менен таратууга болот: 3, 2 + 1, 1 + 2, 1 + 1 + 1. Ушундай эле жол менен каалаган санды оң сандарга бөлүүгө болорун далилдегиле.
- Бийиктиги 9 см, түбүнө узундугу 4 см келген цилиндрге зым оролгон. Зым цилиндр жасоочунун бир учунан чыгып, 10 жолу спиралдашып, ошол жасоочтун экинчи учунан бүтөт. Зымдын узундугун табыңыз.
- Бөлүктү калыбына келтириңиз:
******** | *** ___
*** __ ** 8 **
****
*** __
****
****
- 5 746 320 819 125 номерине оозеки чалсаңыз болобу?
- Айырмасы менен катышы 5 болгон эки санды табыңыз.
- Роппа-роза 7 чети бар көп бурчтук боло албасын далилдегиле.
- Эгерде үч сан үч бурчтуктун капталдары болсо (узундук маанисинде), алардын квадрат тамырлары да үч бурчтуктун капталдары болушу мүмкүн. Эгерде үч бурчтуктун бир учунан алынган түз сызык экинчи учунан эки медианага барабар болсо, анда ал үч бурчтуктун капталынын үчтөн бир бөлүгүн улантканда кесип өтөт.
- Тең жактуу үч бурчтуктун ичине чийилген тегеректен эркин чекит тандалат. Эгерде бул чекит тегерек боюнча кыймылдаса, андан үч бурчтуктун учтарына чейинки аралыктардын суммасы өзгөрбөйт. Далилдеп бер.
- Тегерек 10 бирдей бөлүккө бөлүнөт. Кошуна бөлүнүүчү чекиттер кесилиштер аркылуу туташтырылса, регулярдуу 10 бурч түзүлөт, эгерде бул чекиттер экөөнү түшүрүү менен кошулса, жылдыз түрүндөгү тик бурчтук пайда болот. Бул тик бурчтуктардын капталдарынын айырмасы тегеректин радиусуна барабар экенин далилдегиле.
- Эркин бүтүн оң сан үчүн туюнтумдун мааниси 8640ка калдыксыз бөлүнөөрүн далилдегиле.
- Эркек үйдөн кеңсесине жөө барат да, автобус менен кайтып келет, жалпысынан жарым саат жолдо жүрөт. Эки тарапка тең автобуска түшсөң жарым саатка жетет. Демек, эгер ал үйдөн жумушка, жумуштан үйгө жөө жүрсө, айланып келүү үчүн канча убакыт кетет? (Маселе алгебраны колдонбой эле чечилиши керек!)
- Тең жактуу үч бурчтуктун учундагы бурч S = 20°. жана капталдары жана чекиттери боло тургандай тандалган. Болушун далилдеп бер. (Маселе тригонометриясыз чечилиши керек!)
- Айлананы төрт бирдей бөлүктөргө бөлүңүз. (Маселе компастын жардамы менен гана чечилиши керек!)
- Үч бурчтуктун тең жактуу болушу үчүн
Теңдеме зарыл жана жетиштүү экенин далилдегиле (–үч бурчтуктар).
- Логика менен кандай байланышы бар? Бул жерде аракет кылуу үчүн бир мисал болуп саналат. «V көптүктү кеминде эки элементи А көптүгүнө таандык» деген сөз туура эмес болсун. Бул V топтому жөнүндө кандай тыянак бар?
- Механика жөнүндө эмне айтууга болот? Сураныч, өзүңүз аракет кылып көрүңүз. Узундуктагы темир таяк (б.а. массасы менен кесилиши) жарым шар формасындагы абсолюттук жылмакай (сүрүлүү 0 ге барабар) идиште тең салмактуулукта жатат. Эгерде казан горизонталдык абалда үйрөтүлсө, штанга кандай абалда жайгаштырылат?