نظرية بيزو. مخطط هورنر

شارك مع الأصدقاء:

جذر كثير الحدود. نظرية بيزو. مخطط هورنر

                       خطة:

1. جذر كثير الحدود

2. نظرية بيزو

3. مخطط هورنر

   و (س) = أ_nxⁿ+a_N-1x^N-1+ ... + أ₂x²+a₁x + أ₀  تعطى الكثير.

وصف. إذا أصبحت قيمة كثير الحدود f (x) صفرًا عند القيمة a للمتغير x ، فإن هذا الرقم يسمى جذر كثير الحدود f (x).

 لتحديد جذور كثير الحدود f (x) ، من الضروري حلها بما يساوي الصفر ، وجذور هذه المعادلة هي أيضًا جذور كثير الحدود f (x).

مثال 1 f (x) = x⁴-13x²أوجد جذور كثير الحدود +36.

حل. x⁴-13x²+36 س⁴-4x² -9x²+ 36 = 0 (س²-4) (x²-9) = 0. تنقسم هذه المعادلة إلى معادلتين:

1) خ²-4=0 (x-2)(x+2)=0

2) خ²-9=0  (x-3)(x+3)=0

جذور كثير الحدود المعطى هي: -3؛ -2؛ 2؛ 3.

مثال 2. و (س) = 2 س⁵+x⁴-10x³-5x²أوجد جذور كثير الحدود + 8x + 4 = 0.

 حل. 2x⁵+x⁴-10x³-5x²نحل المعادلة + 8 س + 4 = 0.

2x⁵-4x⁴+ 5x⁴-10x³-5x²+ 10x-2x + 4 = 0

2x⁴(x-2) + 5x³(x-2)-5x(x-2)-2(x-2)=0

(x-2) (2x⁴+ 5x³-5 س -2) = 0

(x-2) [2x⁴+ 2x³+ 3x³+ 3x²-3x²-3x-2x-2] = 0

(x-2) (x + 1) (2x³+ 3x²-3x-2] = 0

(x-2) (x + 1) (x-1) (2x²+ 5 س + 2) = 0

(x-2)(x+1)(x-1)(2x+1)(x+2)=0

x₁= -0,5 ؛ x₂= -2 ؛ س₃= -1 ؛ x₄= 2.

وبالتالي ، فإن جذور كثير الحدود المعطى هي -0,5 ؛ -2؛ -1؛ 2 سيكون.

نظرية بيزو. و (س) = أ_nxⁿ+a_N-1x^N-1+ ... + أ₂x²+a₁x + أ₀    (a0) الباقي من تقسيم كثير الحدود x إلى حدين يساوي قيمة كثير الحدود عندما x = a:

                                    ص = و (أ) =

النتيجة. الرقم a هو جذر f (x) إذا وفقط إذا كان كثير الحدود f (x) يقبل القسمة على x.

مثال. و (س) = س³-1 يقبل القسمة على كثير الحدود x = 1. بما أن x = 1 العدد f (x) = x³-1 هو جذر كثير الحدود ، أي f (1) = 0

إن إيجاد جذور كثير الحدود f (x) يماثل قوة إيجاد قواسمها الخطية في الصورة x.

أمثلة:

1) خ²-a²  المضاعف يقبل القسمة على كل من xa و x + a ؛

2) خ²+a²      الزوج غير قابل للقسمة على xa أو x + a ؛

3) x³-a³  ikihad لا يقبل القسمة على xa أو x + a ؛

مخطط هورنر.   fx) = أ_nxⁿ+a_N-1x^N-1+ ... + أ₂x²+a₁x + أ₀  نعرض مخطط ما يسمى هورنر (ويليام هورنر (1786-1837) - عالم رياضيات إنجليزي) لحساب باقي القسمة ذات الحدين x لكثير الحدود.

   دع f (x) = q (x) (xa) + r (1).

  هنا q (x) = ب₀x^N-1+b₁x^N-2+b₂x^N-3+… + ب_{ن -1.}  

  معادلة المعاملات أمام نفس مستويات x في (1) ، نحصل على:

              a₀=b₀

                       a₁=b₁-b₀

            a₂=b₂-b₁

            ...

            a_N-1=b_N-1-b_N-2

             a_n= ص - ب_N-1

يبدو أن ب₀=a₀، ص_k=b_N-1 +a_k، ك = 1,2,3،1،XNUMX ، ... ، ن -XNUMX ، ص = -ب_N-1.

  تم العثور على حساب حاصل القسمة والباقي باستخدام الجدول أدناه.

	a0	a1	aN-2	...	aN-1	an
		b0+a1	b1+a2	...	bN-2+aN-1	bN-1+an
	b0= أ0	b1	b2		bN-1	r

هذا المخطط يسمى مخطط جورنر.

مثال 1. x³+ 4x²قسّم كثير الحدود -3x + 5 على x-1 باستخدام مخطط Gorner.

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

   وبالتالي،  x³+ 4x²-3 × + 5= (س -1) (س²+ 5 س + 2) +7.

   ويترتب على نظرية بيزو أن الباقي r ، والذي يتكون من قسمة كثير الحدود f (x) إلى ذات الحدين من النموذج ax + b ، يساوي f.

مثال 2. الفوسفور (س) = س³-3x²أوجد ما تبقى من قسمة + 5x + 7 على 2x + 1.

  حل. الباقي هو r = P.

مثال 3. ص₄(س) = س⁴+x³+ 3x²أوجد ما تبقى من قسمة كثير الحدود + 2x + 2 على x-1

وفقًا لنظرية بيزو:

P₄(1) = 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 9

مثال 4: P₂(س) = س₃+ 2x²+ نعم² إذا كان باقي قسمة كثير الحدود على x-2 يساوي 8 ، فأوجد العاني.

P₂(2) = 2³+4²+ 2-أ²= 8

a²= 10

أ = -

a=

الجواب: أ =

مثال 5: P₅(س) = 2 س⁵ –X⁴-3x³أوجد ما تبقى من قسمة + x-3 على x-3.

P₅(x) = (x-3) (2x⁴+ 5x³+ 12x²36^x+109) +324

	2	-1	-3	0	1	-3
		3 ∙ 2	3 ∙ 5	3 ∙ 12	3 ∙ 36	3 ∙ 109
ج = 3	2	5	12	36	109	324

نظرية. إذا كان الرقم P (x) هو جذر كثير الحدود ، فإن P (x) قابلة للقسمة على كثير الحدود x- بدون باقي.

العبارات الأساسية: متعدد الحدود ، الجذر ، بيزو ، جورنر

أسئلة المراقبة:

1. قسمة كثير الحدود على الباقي

2. نظرية بيزو

3. مخطط هورنر

تعيينات

مثال 1. و (س) = 2 س⁵+x⁴-10x³-5x²أوجد جذور كثير الحدود + 8x + 4.

مثال 2. و (س) = س⁴-13x²أوجد جذور كثير الحدود +36.

مثال 3. باستخدام مخطط Gorner ، أوجد قيمة كثير الحدود f (x) عند النقطة x = a.

 1) و (س) = ؛ 2) و (س) = ؛ 3) و (س) =

أسئلة المراقبة:

  تصغير الكسور:

4.  ميسو ل.

تبسيط التعبير.

ص يحل ح. نقوم بتبسيط التعبير المحدد وفقًا لخطوات العمل وقواعد تنفيذها:

5-ميسو ل. تبسيط التعبير.

ص يحل ح. أ> 0 عندما أ^-r باستخدام العلاقة = (0 <r ê Q) ، نبسط التعبير المعطى:

1) 1 + - +

                             المراجع:

1. "أساسيات الجبر والتحليل" RH Vafoyev. 349 صفحة ،

2. عبد الحميدوف "مجموعة مسائل من أساسيات الجبر والتحليل الرياضي" صفحات 48-52.

3. عبد الحميدوف "أساسيات الجبر والتحليل الرياضي"

4. ميليكولوف "الرياضيات" الجزء الأول ، الصفحات 89-93

P₃(س) = س³-3x²أوجد ما تبقى من قسمة + 5x +7 على 2x + 1.

هل كثير الحدود P (x) يقسم كثير الحدود D (x).

1. أ) الفوسفور (س) = س¹⁰⁰ –3x + 2 D (x) = x-1

2. ب) الفوسفور (س) = س¹⁰⁰ –3x + 2 D (x) = x + 1

3. ج) الفوسفور (س) = س¹⁰⁰ –3x + 2 D (x) = x²-1

m 3x في أي قيم³-4x²-m²هل كثير الحدود x-2 يقبل القسمة على x-2 بدون باقي

m 3x في أي قيم³-4x²كثير الحدود -mx-1 لا يقبل القسمة على x + 1.