Безу теоремасы. Хорнер схемасы

ДОСТАРЫМЕН БІРГЕ АКЦИЯ:

Көпмүшенің түбірі. Безу теоремасы. Хорнер схемасы

                       Жоспар:

1. Көпмүшенің түбірі

2. Безу теоремасы

3. Хорнер схемасы

   f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₂x²+a₁x+a₀  көп беріледі.

Сипаттама. Егер x айнымалысының а мәнінде f(x) көпмүшесінің мәні нөлге айналса, бұл а саны f(x) көпмүшесінің түбірі деп аталады.

 f(x) көпмүшесінің түбірлерін анықтау үшін оны нөлге тең ету арқылы шешу керек.Бұл теңдеудің түбірлері де f(x) көпмүшесінің түбірлері болып табылады.

1-мысал f(x)=x⁴-13x²+36 көпмүшесінің түбірлерін табыңыз.

Шешу. x⁴-13x²+36 x⁴-4x² -9x²+36=0 (x²-4)(x²-9)=0. Бұл теңдеу екі теңдеуге бөлінеді:

1) х²-4=0 (x-2)(x+2)=0

2) х²-9=0  (x-3)(x+3)=0

Берілген көпмүшенің түбірлері: -3;-2;2;3.

2-мысал. f(x)=2x⁵+x⁴-10x³-5x²+8x+4=0 көпмүшесінің түбірлерін табыңыз.

 Шешу. 2x⁵+x⁴-10x³-5x²+8x+4=0 теңдеуін шешеміз.

2x⁵-4x⁴+ 5x⁴-10x³-5x²+10x-2x+4=0

2x⁴(x-2)+5x³(x-2)-5x(x-2)-2(x-2)=0

(x-2)(2x⁴+ 5x³-5х-2)=0

(x-2)[2x⁴+ 2x³+ 3x³+ 3x²-3x²-3x-2x-2]=0

(x-2)(x+1)(2x³+ 3x²-3x-2]=0

(x-2)(x+1)(x-1)(2x²+5x+2)=0

(x-2)(x+1)(x-1)(2x+1)(x+2)=0

x₁=-0,5; x₂=-2 ;x₃=-1; x₄= 2.

Сонымен, берілген көпмүшенің түбірлері -0,5; -2;-1; 2 болады.

Безу теоремасы. f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₂x²+a₁x+a₀    (a0) х көпмүшесін екі мүшеге бөлуден қалған қалдық x=a болғанда көпмүшенің мәніне тең:

                                    r = f(a) =

Нәтиже. f(x) көпмүшесі х-ке бөлінетін болса ғана, a саны f(x) санының түбірі болады.

Мысал. f(x)= x³-1 x=1 көпмүшелігіне бөлінеді. x=1 болғандықтан f(x)= x саны³-1 көпмүшенің түбірі, яғни f(1)=0

f(x) көпмүшесінің түбірлерін табу оның х түріндегі сызықтық бөлгіштерін табу сияқты күшті.

Мысалдар:

1) х²-a²  қосарлы сан xa және x+a-ға да бөлінеді;

2) х²+a²      жұп xa немесе x+a-ға бөлінбейді;

3) x³-a³  икихад икихад ха немесе х+а-ға бөлінбейді;

Хорнер схемасы.   fx)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₂x²+a₁x+a₀  көпмүшені х- биномына бөлгенде қалдықты есептеуге арналған Хорнер (Уильям Хорнер (1786-1837) - ағылшын математигі) деп аталатын схемасын көрсетеміз.

   f(x)=q(x)(xa)+r (1) болсын.

  Мұнда q(x)= b₀x^n-1+b₁x^n-2+b₂x^n-3+...+б_n-1.  

  (1)-дегі x-тің бірдей деңгейлерінің алдындағы коэффициенттерді теңестіріп, мынаны аламыз:

              a₀=b₀

                       a₁=b₁-b₀

            a₂=b₂-b₁

            ...

            a_n-1=b_n-1-b_n-2

             a_n=r — б_n-1

б₀=a₀, б_k=b_n-1 +a_k, k=1,2,3,..., n-1, r=-b_n-1.

  Бөлшек пен қалдықты есептеу төмендегі кесте арқылы табылады.

	a0	a1	an-2	...	an-1	an
		b0+a1	b1+a2	...	bn-2+an-1	bn-1+an
	b0= a0	b1	b2		bn-1	r

Бұл схема Горнер схемасы деп аталады.

1-мысал. x³+ 4x²Горнер схемасы арқылы -3x+5 көпмүшені х-1-ге бөліңіз.

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

   Сонымен,  x³+ 4x²-3x+5=(x-1)(x²+5x+2)+7.

   Безу теоремасынан f(x) көпмүшесін ax+b түріндегі биномға бөлу арқылы құрылған r қалдығы f-ке тең екендігі шығады.

2-мысал. P(x)= x³-3x²+5x+7-ні 2х+1-ге бөлудің қалдығын табыңыз.

  Шешу. Қалған r=P.

3-мысал. П₄(x) = x⁴+x³+ 3x²+2x+2 көпмүшені х-1-ге бөлгенде қалдықты табыңыз

Безу теоремасы бойынша:

P₄(1) = 1+1+3+2+2 = 9

4-мысал: P₂(x) = x₃+ 2x²+ иә² Көпмүшені х-2-ге бөлудің қалдығы 8 болса, аниді табыңыз.

P₂(2) = 2³+4²+2-а²= 8

a²= 10

a= —

a=

Жауабы: a=

5-мысал: P₅(x)= 2x⁵ - X⁴-3x³+x-3-ті х-3-ке бөлудің қалдығын табыңыз.

P₅(x) = (x-3) (2x⁴+ 5x³+ 12x²+ 36^x+109) + 324

	2	-1	-3	0	1	-3
		3∙2	3∙5	3∙12	3∙36	3∙109
C = 3	2	5	12	36	109	324

Теорема. Егер P(x) саны көпмүшенің түбірі болса, онда P(x) х- көпмүшесіне қалдықсыз бөлінеді.

Негізгі сөз тіркестері: көпмүше, түбір, Безу, Горнер

Бақылау сұрақтары:

1. Көпмүшені қалдыққа бөлу

2. Безу теоремасы

3. Хорнер схемасы

Тапсырмалар

1-мысал. F(x)=2x⁵+x⁴-10x³-5x²+8x+4 көпмүшесінің түбірлерін табыңыз.

2-мысал. F(x)=x⁴-13x²+36 көпмүшесінің түбірлерін табыңыз.

3-мысал. Горнер схемасын қолданып, x=a нүктесіндегі f(x) көпмүшесінің мәнін табыңыз.

 1) f(x)=; 2) f(x)=; 3) f(x)=

Бақылау сұрақтары:

  Бөлшектерді азайту:

4.  мисо л.

өрнекті жеңілдету.

Y h шешеді. Берілген өрнекті әрекет қадамдары мен олардың орындалу ережелеріне сәйкес жеңілдетеміз:

5-мисо л. өрнекті жеңілдету.

Y h шешеді. a > 0 болғанда, a^-r = (0 < r ê Q) қатынасын пайдаланып, берілген өрнекті жеңілдетеміз:

1) 1 + — +

                             Пайдаланылған әдебиеттер:

1. «Алгебра және анализ негіздері» Р.Х.Вафоев. 349 бет,

2. А.Абдухамидов «Алгебра және математикалық анализ негіздерінен есептер жинағы» 48-52 беттер.

3. А.Абдухамидов «Алгебра және математикалық анализ негіздері»

4. Ә.Меліқұлов «Математика» І бөлім, 89-93 бет

P₃(x) = x³-3x²+5x +7-ні 2x+1-ге бөлудің қалдығын табыңыз.

P(x) көпмүшесі D(x) көпмүшені бөле ме?

1. a) P(x) = x¹⁰⁰ –3x+2 D(x) = x-1

2. b) P(x) = x¹⁰⁰ –3x+2 D(x) = x+1

3. c) P(x) = x¹⁰⁰ –3x+2 D(x) = x²-1

m қандай мәндерде 3x³-4x²-m²х-2 көпмүшесі х-2-ге қалдықсыз бөлінеді ме?

m қандай мәндерде 3x³-4x²-mx-1 көпмүшесі х+1-ге бөлінбейді.