Қызықты мәселелер

ДОСТАРЫМЕН БІРГЕ АКЦИЯ:

Барлық жастағы адамдарға арналған

1) Ағасы 1-ден 9-ға дейінгі сандардың бірін ойлап тапты. «Иә» немесе «Жоқ» деп жауап беру арқылы ағасы оған қанша сұрақ таба алады? Неліктен оны аз сұрақтармен таба алмайсыз?

2) Ағасы 1-ден 7-ге дейінгі сандардың бірін ойлап тапты. Ағасы оған ойлаған санға төрт арифметикалық амал жасауды сұрайды. Бірде ол нәтиже қандай болды деп сұрауы мүмкін. Осылай ағасы ойлаған санды інісі таба ала ма? Ол неше арифметикалық амалдан кейін таба алады?

3) Ағасы 1, 2, 3 сандарының бірін ойлап табады. Ағасы оған бір сұрақ қоя алады. Ағасы оған «Иә», «Жоқ» немесе «Білмеймін» деген жауаптардың бірін айтады. Ағасы бір сұрақпен ағасы ойлаған санды таба алады ма?

4) Ағасы 1-ден 4-ке дейінгі сандардың бірін ойлап, ағасының сұрағына «Иә», «Жоқ», «Жауабын ертең айта аламын» немесе «Білмеймін» деп жауап берсе, ағасы: аға бір сұрақ.Іздеген номеріңізді тауып бере аласыз ба?

5) Ағаңыз 1-ден 5-ке дейінгі сандардың бірін ойлайтын жағдайға 4 сияқты есеп жасаңыз.

Х.ШТЕЙНХАУЗ МӘСЕЛЕЛЕРІ

Гюго Штайнгаус (1887-1972) атақты поляк математигі. Ол математиканың бірнеше заманауи салаларында зерттеулер жүргізіп, оқушылар мен студенттерге қызықты кітаптар жазды. Атап айтқанда, оның «Математикалық калейдоскоп» кітабы оннан астам тілге аударылып, қайта басылып шықты.

Төменде Х.Штайнхаустың «Жүз мәселе» кітабынан таңдау берілген. Көп жағдайда бұл мәселелер өзіндік ерекшелігімен назар аудартады. Олардың кейбіреулері тапқырлықты талап етіп, аз да болса зерттеуге негіз болатыны математиканы сүйетін жастарға өте пайдалы.

1. Көбейту кестесімен жаттығу. Келесі ретті қарастырыңыз:

2, 3, 6, 1, 8, 6, 8, 4, 8,…

Ол келесідей құрылымдалған:

2; 3; 2 × 3 = 6; 3 × 6 = 18 1, 8; 6 × 1 = 6; 1 × 8 = 8; 8 × 6 = 48 4, 8; …

Міне, одан азырақ: 6 × 8 = 48 4, 8; 8 × 4 = 32 3, 2; 4 × 8 = 32 3, 2; …

Осылайша қатарлас сандар көбейтіледі. Бұл жағдайда бір таңбалы сан жасалса, жазылған сандардан кейін жазылады, екі таңбалы сан шығарылса, сандар бірдей ретпен жазылады.

Х.Штайнгаус 5, 7, 9 сандарының бұл реттілікте ешқашан кездеспейтінін дәлелдеуді ұсынады.

2. Динамикалық жүйе. Ондық санау жүйесінде біз ерікті натурал санды аламыз (мысалы, 2538) және оның сандарының квадраттарын қосамыз (мысалы, 22 +52 +32 +82 = 102). Сол операцияны алынған қосындымен (12 +02 +22 + 5) қайталаймыз, т.б. (52 = 25, 22 +52 = 29, 22 +92 = 85,…)

Бастапқыда алынған сан қандай болса да, нәтиже қатарында 1 немесе 4 міндетті түрде болатынын дәлелдеңіз.

3. Бірінші мәселе - бөлу. 55k + 1 + 45k + 2 + 35k әрқашан 11-ге қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер (k - бүтін оң сан).

4. Екінші мәселе - бөлу. Дәлелдеу: 3105 + 4105 саны 13, 49, 181 және 379-ға бөлінеді, бірақ 5 пен 11-ге емес.

5. Біртүрлі симметриялы өрнек. x, y, z айнымалылары қалай ауыстырылса да, өрнектің мәні өзгеріссіз қалатынын көрсетіңіз. Бұл қасиет анық көрінетіндей етіп осы өрнектің пішінін өзгертіңіз.

6. Ауызша шешілетін геометриялық есеп. Үшбұрыштың қабырғалары a, b, c, а қабырғасына қарама-қарсы бұрышы А, ал S беті болсын. Тригонометрияны қолданбай дәлелдеңдер: ÐA = 600 болса, А = 1200 болса,

7. Практикалық мәселе. Қарапайым үстелдің үстінде қарапайым кірпіш бар. Қарындаш пен ұзындығы 60 см сызғышты пайдаланып, ешбір есептеусіз кірпіштің диагоналін өлшеудің жолын табыңыз.

ОЛИМПИАДА МӘСЕЛЕЛЕРІ

2012 жылдың 31 наурызында Мәскеу мемлекеттік университетінің Ташкент қаласындағы филиалында математика және информатика пәндері бойынша олимпиада өтті. Оған негізінен Ташкент қаласындағы академиялық лицейлер мен кәсіптік колледждердің студенттері қатысты. Төменде математикалық олимпиаданың сұрақтары берілген.

1. (5 ұпай) Нақты сандарға әрекет ереже бойынша анықталады. Олай болса, өрнектің ең үлкен мәні қандай?

2. (10 ұпай) Осы көбейтіндінің соңғы 8 цифрын табыңыз (ондық жүйеде).

3. (10 ұпай) Теңдеудің теріс емес бүтін шешімдерінің санын анықта.

4. (15 ұпай) - Оң сандар, барлығы үшеуінің барлығы неше нақты түбірі болуы мүмкін?

5. (20 ұпай) Дәлізде 100 есік бар. Басында бәрі өшірулі. 1 мен 100 арасындағы тақ сандармен нөмірленген есік қоңыраулары кезекпен келесі әрекеттерді орындайды: сандық есік қоңырауы әр есіктің орнын өзгертеді, яғни жабық есікті ашады, ашық есікті жабады. Барлық есік күзетшілері өз жұмысын бірден орындап болған кезде қанша есік ашылады?

6. (20 ұпай) AD және AE қиылысулары AVS теңбүйірлі үшбұрышының А ұшынан жасалды. Бұл жағдайда D, E нүктелері VS жағында (V, D, E, S ретімен) жатады. Егер BD = 3, CE = 5 болса, VS табыңыз.

7. (20 ұпай) Кесте 1-ден 9-ға дейінгі сандармен толтырылған, мұнда көршілес, яғни ортақ жақтары бар ұяшықтардағы сандар өзара жай сандар (ең үлкен ортақ бөлгіш 1-ге тең) болуы керек. Мұны қанша жолмен жасауға болады?

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ОЙЫНДАР

Математика шахмат және дойбы сияқты ойындарға қарағанда басқа, нақтырақ ойындарды жақсы көреді. Кейде оны өзі ойлап табады. Мұндай ойындардың маңызды ерекшелігі - олар ойын ретінде емес, жинақы немесе тұтас брошюра қажет пе - зерттеу мәселесі ретінде қарастырылады. Мұндай мәселені шешу шынымен қызықты жұмыс.

Сайт жетекшісіне пошта арқылы кітап келді. Бұл оның Ижевск қаласындағы әріптесі, профессор Николай Никандрович Петровтың «Математикалық ойындар» кітабы болатын. Кітаптың бір тарауы көпқұдайшылықпен байланысты ойындарға арналған. Мұндай сұрақтар халықаралық математикалық олимпиадаларда да берілетіндіктен, сайтымызда есептер тізімін дайындап жатырмыз.

1. теңдеу арқылы келесі ойын ойналады: бірінші ойыншы өзі қалаған екі нақты санды айтады, екінші ойыншы осы сандарды коэффициенттердің орнына өзі қалаған ретпен орналастырады. Егер аталған сандардың бірі алынған теңдеудің түбірі болса, бірінші ойыншы жеңеді, әйтпесе екінші ойыншы. Кім жұта алатынын біліңіз.

2. теңдеу берілген. Екі ойыншы өз кезегінде коэффициенттердің біреуін 1-ге азайтады. Біреудің жүрісінен кейін қалыптасқан теңдеудің түбірі түгел болса, ол жеңілген болып саналады. Бірінші ойыншы жеңіске жету үшін не істеу керек?

3. Тақтада жазба бар. Бірінші ойыншы кез келген үш нақты санды айтады, ал екінші ойыншы оларды үш нүктенің орнына қалаған ретімен жазады. Егер алынған теңдеудің екі түрлі рационал түбірі болса, бірінші ойыншы жеңеді, әйтпесе екінші ойыншы жеңеді. Мұнда да бірінші ойыншы әрқашан жеңе алатынын дәлелдеңіз.

4. Тақтада 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандар жазылған. Екі ойыншы кезекпен бір нөмірді жояды. Бұл жұмыс тақтада екі сан қалғанша жалғасады. Бұл сандар теңдеудің коэффициенттерін ауыстырғанда (осы немесе басқа ретпен), егер алынған теңдеудің түбірлері әртүрлі болса, бірінші ойыншы жеңеді, әйтпесе екінші ойыншы жеңеді. Ойындағы екінші ойыншының қолы жоғары көтерілетінін дәлелдеңіз.

5. Теңдеу мектеп тақтасына жазылады. Екі оқушы осындай ойын ойнайды. Бірінші ойыншы коэффициенттердің бірінің орнына өзі қалаған нақты санды жазады. Содан кейін екінші ойыншы қалған коэффициенттердің бірінің орнына кез келген нақты санды жазады. Содан кейін қайтадан бірінші ойыншы қалған коэффициенттің орнына нақты санды жазады. Егер алынған теңдеудің үш түрлі нақты түбірі болса, бірінші ойыншы жеңеді, әйтпесе екінші ойыншы жеңеді. Осы ойынның бірінші ойыншысы әрқашан жеңе алатынын дәлелдеңіз.

6. Жоғарыдағы ойынның шартын былай өзгертейік: егер алынған теңдеудің бір нақты түбірі болса, бірінші ойыншы жеңеді, әйтпесе – екінші ойыншы. Бұл ойында да бірінші ойыншы әрқашан жеңе ала ма?

7. Бірінші ойыншы бірінші қозғалыста бірден екі коэффициентті таңдасын (яғни оның орнына нақты санды жазса), содан кейін екінші ойыншы қалған коэффициентті таңдасын. Егер алынған теңдеудің бірнеше түбірі болса, бірінші ойыншы екінші ойыншыны жеңеді. Бұл ойында да бірінші ойыншы әрқашан жеңе алатынын дәлелдеңіз.

8. Келесі теңдеу қарастырылады:. Екі ойыншы коэффициенттердің орнына нөлден басқа бүтін санды қояды. Мұны алдымен бір коэффициенті бар бірінші ойыншы, содан кейін қалған үш коэффициенті бар екінші ойыншы орындайды. Егер алынған теңдеудің кем дегенде екі бүтін шешімі болса, екінші ойыншы жеңеді, әйтпесе бірінші ойыншы жеңеді. Осы ойынның бірінші ойыншысы жеңе алатынын дәлелдеңіз.

9. Жоғарыдағы теңдеуде ойыншылар коэффициенттердің орнына бүтін сандарды кезекпен қояды. Егер алынған теңдеу бүтін түбірге ие болса, екінші ойыншы, әйтпесе бірінші ойыншы жеңеді. Ойында кім жеңетінін анықтаңыз.

10. көпшілігі қарастырылады. Екі ойыншы кезекпен бүтін сандарды коэффициенттерге қояды. Егер алынған көпмүшенің барлық мәндері қалдықсыз 6-ға бөлінсе, бірінші ойыншы жеңеді, әйтпесе екінші ойыншы жеңеді. Бірінші ойыншы әрқашан жұта алатынын дәлелдеңіз.

 

«Чарльз Тригг. Жиз мәселелері »

1. 3 санын оң сандарға төрт түрлі жолмен таратуға болады: 3, 2 + 1, 1 + 2, 1 + 1 + 1. Ерікті санды дәл осылай оң сандарға бөлуге болатынын дәлелдеңдер.

2. Сым негізі шеңберде биіктігі 9 см және ұзындығы 4 см цилиндрге оралған. Сым цилиндр жасаушының бір шетінен шығып, 10 рет спиральға айналады және сол жасаушының екінші ұшымен аяқталады. Сымның ұзындығын табыңыз.

3. Бөлімді қалпына келтіріңіз:

******** | *** ___

 

*** __ ** 8 **

 

****

 

*** __

****

****

 

33. 5 746 320 819 125 нөміріне ауызша хабарласа аласыз ба?

40. Айырма мен қатынасы 5 болатындай екі санды табыңыз.

42. Роппа-роза 7 қырлы көпбұрыш бола алмайтынын дәлелдеңдер.

72. Егер үш сан үшбұрыштың қабырғалары болса (ұзындық мағынасында), олардың квадрат түбірлері де үшбұрыштың қабырғалары болуы мүмкін. Үшбұрыштың бір шетінен шыққан түзу екінші шетінен екі медианаға тең болса, оны жалғастырған кезде ол үшбұрыштың қабырғасының үштен бірін қиып өтеді.

86. Тең бүйірлі үшбұрыштың ішіне сызылған шеңберден ерікті нүкте таңдалады. Егер бұл нүкте шеңбер бойымен қозғалса, одан үшбұрыштың ұштарына дейінгі қашықтықтардың қосындысы өзгермейді. Дәлелде.

100. Шеңбер 10 тең бөлікке бөлінген. Егер іргелес бөлінетін нүктелер қиылысулар арқылы қосылса, дұрыс 10 бұрыш түзіледі, егер бұл нүктелер екеуін түсіру арқылы қосылса, жұлдыз тәрізді төртбұрыш пайда болады. Осы тіктөртбұрыштардың қабырғаларының айырмасы шеңбердің радиусына тең екенін дәлелдеңдер.

127. Ерікті бүтін оң үшін өрнектің мәні 8640-қа қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңдер.

218. Ер адам үйден кеңсесіне жаяу барады да, автобуспен қайтып келеді, барлығы жарты сағат жолда жүреді. Екі жаққа да автобусқа отырсаңыз, жарты сағат уақыт кетеді. Сонымен, егер ол үйден жұмысқа, жұмыстан үйге жаяу жүрсе, оны айналып өтуге қанша уақыт кетеді? (Мәселені алгебраны қолданбай шешу керек!)

227. Тең бүйірлі үшбұрыштың соңындағы бұрыш S = 20 °. және жақтары мен нүктелері болатындай етіп таңдалған. Болатынын дәлелде. (Мәселені тригонометриясыз шешу керек!)

248. Шеңберді төрт бірдей бөлікке бөліңіз. (Мәселе тек компастың көмегімен шешілуі керек!)

305. Үшбұрышты тең қабырғалы етіп жасау

Теңдеудің қажетті және жеткілікті екенін дәлелдеңдер (–үшбұрыштар).

326. Сіз логикаға қалай қарайсыз? Міне, көруге болатын мысал. «V жиынының кемінде екі элементі А жиынына жатады» деген тұжырым дұрыс емес болсын. Бұдан V жиын туралы қандай қорытынды шығады?

357. Механика ше? Өзіңіз көріңіз. Ұзындығы темір өзек (яғни массасы бар көлденең қима) жарты шар тәрізді абсолютті тегіс (үйкеліс күші 0-ге тең) кастрюльде тепе-теңдікте жатыр. Егер қазандық көлденең күйде оқытылатын болса, штанга қандай күйде орналасады?