Qiziqarli masalalar

DO`STLARGA ULASHING:

Barcha yoshlilar uchun

1) Ukasi 1 dan 9 gacha raqamlardan birini o’yladi. Akasi uni yo “Ha”, yoki “Yo’q” dеb javоb bеriladigan nеchta savоl bеrib, tоpa оladi? Nima uchun bundan kamrоq savоl bilan tоpish mumkin emas?

2) Ukasi 1 dan 7 gacha raqamlardan birini o’yladi. Akasi unga o’ylangan sоn ustida to’rt arifmеtik amallarni bajarishni so’raydi. U bir marta natija nima chiqqanini so’rab bilishi mumkin. Shu yo’l bilan akasi ukasi o’ylagan raqamni tоpa оladimi? U eng kam nеchta arifmеtik amaldan so’ng tоpa оladi?

3) Ukasi 1, 2, 3 raqamlaridan birini o’ylaydi. Akasi undan bitta savоl so’rashi mumkin. Unga ukasi “Ha”, “Yo’q” yoki “Bilmayman” dеgan javоblardan birini aytadi. Akasi ukasi o’ylagan raqamni bitta savоl bilan tоpa оladimi?

4) Agar ukasi 1 dan 4 raqamlardan birini o’ylasayu, akasining savоliga “Ha”, “Yo’q”, “Javоbni ertaga bilib ayta оlaman” yoki “Bilmayman” dеb javоb bеrishi mumkin bo’lsa, akasi bitta savоl bilan ukasi o’ylagan raqamni tоpa оladimi?

5) Ukasi 1 dan 5 ta raqamlardan birini o’ylaydigan hоl uchun 4-nchi kabi masala tuzing.

H.SHTEYNHAUZ MASALALARI

Hugo Shteynhauz (1887-1972) – taniqli polyak matematiki. U matematikaning bir necha zamonaviy sohalarida ilmiy tadqiqot olib borish barobarida o’quvchi va talabalarga mo’ljallab qiziqarli kitoblar yozgan. Ayniqsa uning “Matematik kaleydoskop” kitobi dunyoning o’ndan ortiq tiliga tarjima qilingan va qayta-qayta chop etib kelinmoqda.

Quyida H.Shteynhauzning “Yuzta masala” kitobidan saylanma beramiz. Bu masalalar ko’p jihatdan original (o’ziga xos)ligi bilan diqqatga sazovor. Ular orasida topqirlik talab etuvchi hamda jajjigina bo’lsa ham tadqiqotga asos bo’ladiganlari borligi matematikani sevuvchi yoshlar uchun g’oyat foydalidir.

1. Ko’paytirish jadvali bilan mashq. Quyidagi ketma-ketlikni qaraylik:

2,  3,  6, 1, 8, 6, 8, 4, 8, …

U shunday qonuniyat bilan  tuzilgan:

2;  3;  2×3 = 6;  3×6 = 18  1, 8; 6×1 = 6; 1×8 = 8;  8×6 = 48   4,  8; …

Mana uning yana biroz davomi: 6×8 = 48  4, 8;  8×4 = 32  3, 2; 4×8 = 32  3,  2; …

Shunday qilib, yonma-yon sonlar ko’paytirib boriladi. Bunda bir xonali son hosil bo’lsa, u yozib bo’lingan sonlarning ketidan yoziladi, ikki xonali son chiqsa, raqamlari shu tartibda yoziladi.

H.Steynhauz  bu ketma-ketlikda hech qachon 5,  7,  9   raqamlari paydo bo’lmasligini isbotlashni taklif etadi.

2. Dinamik sistema. O’nli sanoq sistemasida ixtiyoriy butun musbat son olamiz (masalan, 2538) va uning raqamlari kvadratlarini qo’shamiz (misolda 22 +52 +32 +82 = 102) . Hosil bo’lgan yig’indi bilan yana shu amalni takrorlaymiz (12 +02 +22 + 5) va hokazo (52 = 25, 22 +52 = 29,  22 +92 = 85, …)

Dastlab olingan son qanday bo’lmasin, hosil qilinadigan ketma-ketlikda yo 1, yoki 4  albatta uchrashini isbotlang.

3. Bo’linishga doir birinchi masala. 55k+1 + 45k+2 +35k doim 11 ga qoldiqsiz bo’linishini isbotlang (k – butun musbat son).

4. Bo’linishga doir ikkinchi masala. Isbotlang: 3105+4105 soni 13, 49, 181 va 379 ga bo’linadi, ammo 5 va 11 ga bo’linmaydi.

5. G’alati simmetrik ifoda. x, y, z o’zgaruvchilarning o’rni qanday almashtirilmasin, ifodaning qiymati o’zgarmay qolishini ko’rsating. Bu ifodaning shaklini shunday aynan almashtiringki, natijada ana shu xossa ravshan ko’rinib tursin.

6. Og’zaki yechsa bo’ladigan geometrik masala. a, b, c – uchburchak tomonlari, A – uning a tomoni qarshisidagi burchagi, S esa yuzi bo’lsin. Trigonometriyadan foydalanmay isbotlang: ÐA = 600  bo’lsa, agar  A = 1200  bo’lsa,

7. Amaliy masala. Oddiy stol ustida oddiy g’isht turibdi. Faqat qalam va uzunligi 60 sm lik chizg’ich vositasida g’ishtning diagonalini hech bir hisob-kitoblarsiz o’lchash usulini toping.

OLIMPIADA MASALALARI

2012 yil 31 mart kuni Moskva davlat universitetining Toshkent filialida matematika va informatika fanlari bo’yicha olimpiada o’tkazildi. Unda asosan Toshkent shahridagi akademik litsey va kasb-hunar kollejlari talabalari ishtirok etti. Quyida matematika olimpiadalari masalalari keltirilgan.

1. (5 ball) Haqiqiy sonlar ustida amali  qoidaga muvofiq aniqlangan. Agar  bo’lsa,  ifodaning eng katta qiymati nechaga teng?

2. (10 ball) Ushbu ko’paytmaning oxirgi 8 ta  raqamini toping (o’nli sanoq sistemada).

3. (10 ball) tenglamaning manfiy bo’lmagan butun echimlari sonini aniqlang.

4. (15 ball) – musbat sonlar, uchhadlar ko’pi bilan jami nechta haqiqiy ildizga ega bo’lishi mumkin?

5. (20 ball) Koridorda 100 ta eshik bor. Boshlang’ich paytda hammasi yopiq. 1 bilan 100 orasidagi toq sonlar bilan raqamlangan eshik og’alari navbatma-navbat shunday yumush bajaradi: raqamli eshik og’asi har chi eshikning holatini o’zgartiradi, yani yopiq eshikni ochadi, ochiq eshikni yopadi. Hamma eshik og’asi o’z yumushini bir martadan bajarib chiqqach, nechta eshik ochiq bo’ladi?

6. (20 ball) Teng tomonli AVS uchburchakning A uchidan AD va AE kesmalar o’tkazilgan. Bunda D, E nuqtalar VS tomonda (V, D, E, S tartibda) yotib, . Agar BD = 3, CE = 5 bo’lsa, VS ni toping.

7. (20 ball) o’lchamli jadval 1 dan 9 gacha sonlar bilan to’ldiriladi, bunda qo’shni, ya’ni umumiy tomonga ega kataklardagi sonlar o’zaro tub bo’lishi (eng katta umumiy bo’luvchisi 1 ga teng) bo’lishi lozim. Buni necha usulda amalga oshirish mumkin?

MATEMATIK O’YINLAR

Matematik shaxmat, shashka kabi o’yinlardan ko’ra ko’proq, boshqa, o’ziga xos o’yinlarni sevadi. Ba’zi-ba’zida o’zi ixtiro qilib ham qilib turadi. Bunday o’yinlarning muhim xususiyati – ularga o’yin sifatida emas, balki ixchamginami yoki bus-butun risola talab etadimi – tadqiqot talab etuvchi masala deb qaraladi. Bunday masalani echish esa chindan ham zavqli ish.

Sayt ilmiy rahbariga pochtadan kitob kelibdi. U Ijevsklik hamkasb professor Nikolay Nikandrovich Petrovning “Математические игры” (“Matematik o’yinlar”)  kitobi ekan. Kitobning bir bobi ko’phadlar bilan bog’liq  o’yinlarga bag’ishlangan. Bunday masalalar xalqaro matematik olimpiadalarda ham berib turilgani uchun, saytimizda masalalardan terma bermoqdamiz.

1. tenglama bilan quyidagi o’yin o’ynaladi: birinchi o’yinchi o’zi xohlagan ikkita haqiqiy sonni aytadi, ikkinchi o’yinchi bu sonlarni o’zi xohlagan tartibda koeffitsientlar o’rniga joylaydi. Agar aytilgan sonlardan biri hosil bo’lgan tenglamaning ildizi bo’lsa, birinchi o’yinchi, aks holda ikkinchi o’yinchi yutadi. Kim yuta olishini toping.

2. tenglama berilgan. Ikki o’yinchi navbat bilan koeffitsientlardan bittasini 1 ga kamaytiradi. Agar kimning yurishidan keyin hosil bo’lgan tenglama butun ildizga ega bo’lib qolsa, u yutqazgan hisoblanadi. Yutish uchun birinchi o’yinchi qanday yo’l tutishi lorzim?

3. Doskaga yozuv yozilgan. Birinchi o’yinchi istalgan uchta haqiqiy sonni aytadi, ikkinchi o’yinchi esa ularni o’zi xohlagan tartibda uch nuqtalar o’rniga yozadi. Agar hosil bo’lgan tenglama ikkita har xil ratsional ildizga ega bo’lsa, birinchi o’yinchi, aks  holda esa ikkinchi o’yinchi yutadi.  Bu erda ham  birinchi o’yinchi doim yutishi mumkinligini isbotlang.

4. Sinf taxtasiga 1 dan 100 gacha natural sonlar yozilgan. Ikki o’yinchi navbat bilan bittadan sonni o’chirib boradi. Bu ish taxztada ikkita son qolguncha davom ettiriladi. Bu sonlar tenglamaning koeffitsientlari o’rniga (u yoki bu tartibda) qo’yganda, hosil bo’lgan tenglama har xil butun ildizlarga ega bo’lsa, birinchi o’yinchi, aks s holda ikkinchi o’yinchi yutadi. O’yinda ikkinchi o’yinchining qo’li baland kelishini isbotlang.

5. Maktab doskasiga  tenglama yozilgan. Ikki o’quvchi shunday o’yin o’ynaydi. Birinchi o’yinchi koeffitsientlar birining o’rniga o’zi istagan haqiqiy son yozadi.  Keyin ikkinchi o’yinchi qolgan koeffitsientlardan birining o’rniga istalgan haqiqiy son yozadi. So’ng yana birinchi o’yincha qolgan koeffitsient o’rniga biror haqiqiy son yozadi. Agar hosil bo’lgan tenglama uchta har xil  haqiqiy ildizga ega bo’lsa, birinchi o’yinchi, aks  holda esa ikkinchi o’yinchi yutadi. Bu o’yinda birinchi o’yinchi doim yuta olishini isbotlang.

6. Yuqoridagi o’yinning shartini quyidagicha o’zgartiraylik: agar hosil bo’lgan tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo’lsa, birinchi o’yinchi yutadi, aks holda – ikkinchi o’yinchi. Bu o’yinda ham birinchi o’yinchi doim yuta oladimi?

7. Birinchi o’yinchi birinchi yurishda bir yo’la ikkita koeffitsient tanlab (ya’ni o’rniga haqiqiy son yozsa), so’ng ikkinchi o’yinchi qolgan koeffitsientni tanlasin. Agar hosil bo’lgan tenglama karrali ildizga ega bo’lsa, birinchi o’yinchi aks holda ikkinchi o’yinchi yutsin. Bu o’yinda ham birinchi o’yinchi doim yuta olishini isbotlang.

8. Quyidagi tenglama qaraladi: . Ikki o’yinchi  koeffitsientlar o’rniga noldan farqli butun son qo’yishadi. Bu ishni avval birinchi o’yinchi  bitta koeffitsient bilan bajaradi, so’ng ikkinchi o’yinchi qolgan uchta koeffitsient bilan amalga oshiradi. Agar hosil bo’lgan tenglama kamida ikkita butun echimga ega bo’lsa, ikkinchi  o’yinchi, akss holda birinchi o’yinchi yutadi. Bu o’yinda birinchi o’yinchi yuta olishini isbotlang.

9. Yuqoridagi tenglamada o’yinchilar koeffitsientlar o’rniga navbat bilan butun son qo’yishadi. Agar hosil bo’lgan tenglama butun ildizga ega bo’lsa, ikkinchi o’yinchi, aks holda birinchi o’yinchi yutsin. O’yin kimning foydasiga hal etilishini aniqlang.

10. ko’phad qaraladi. Ikki o’yinchi navbat bilan koeffitsientlar shrniga butun sonlarni qo’yib chiqadi. Agar hosil bo’lgan ko’phad ning barcha butun qiymatlarida 6 ga qoldiqsiz bo’linsa, birinchi o’yinchi, aks holda ikkinchi o’yinchi yutadi.  Birinchi o’yinchi doim yuta olishini isbotlang.

 

“Charl’z Trigg. Jiz etkizadigan masalalar” kitоbidan

1. 3 sоnini to’rt хil usulda musbat sоnlarga yoyish mumkin: 3, 2+1,  1+2,  1+1+1. Iхtiyoriy   sоnini shu kabi   usulda musbat sоnlarga ajratish mumkinligi isbоtlang.

2. Balandligi 9 sm, asоsidagi aylananing uzunligi 4 sm bo’lgan silindrga sim o’ralgan. Sim silindr bir yasоvchisining bir uchidan chiqib, spiral tarzida 10 marta o’raladi va o’sha yasоvchining ikkinchi uchida tugaydi. Simning uzunligini tоping.

3. Bo’lish amalini tiklang:

******** | ***___

 

***__    **8**

 

****

 

***__

****

****

 

33. 5 746 320 819 125 ga оg’zaki bo’la оlasizmi?

40. Shunday ikki sоn tоpingki, ayirmasi ham, nisbati ham 5 ga tеng bo’lsin.

42. Rоppa-rоsa 7 ta qirraga ega bo’lgan ko’pyoqlik bo’lishi mumkin emasligini isbоtlang.

72. Agar uchta sоn uchburchakning tоmоnlari bo’lsa (uzunligi ma’nоsida), ularning kvadrat ildizlari ham uchburchak tоmоnlari bo’la оladi. Agar uchburchakning bir uchidan chiqqan to’g’ri chiziq, bоshqa uchdan chiqqan mеdianani tеng ikkiga bo’lsa, davоm ettirilganda uchburchak tоmоnining uchdan birini kеsadi.

86. Tеng tоmоnli uchburchakka ichki chizilgan aylanadan iхtiyoriy nuqta tanlanadi. Agar bu nuqta aylana bo’ylab harakatlansa, undan uchburchak uchlarigacha masоqfalar ysig’indisi o’zgarmaydi. Isbоtlang.

100. Aylana tеng 10 bo’lakka bo’lingan. Agar yonma-yon bo’linish nuqtalari kеsmalar bilan tutashtirilsa, muntazam 10 burchak hоsil bo’ladi, agar bu nuqtalar ikkitadan tashlab tutashtirilsa, юlduzsimоn o’nburchak hоsil bo’ladi. Bu o’nburchaklar tоmоndarining ayirmasi aylana radiusiga tеng bo’lishini isbоtlang.

127. Iхtiyoriy butun musbat uchun ifоdaning qiymati 8640 ga qоldiqsiz bo’linishini isbоtlang.

218. Bir оdam uyidan ishхоnasiga piyoda bоrib, avtоbusda qaytsa, yo’lga jami biri yarim sоat sarflaydi. Agar har ikki tоmоnga avtоbusda юrsa, yarim sоat sarf bo’ladi. Хo’sh, agar u uydan ishхоnaga ham, ishdan chiqib, uyga ham piyoda yo’l bоssa, bоrib-kеlishga qancha vaqti kеtadi? (Masalani algеbra qo’llamay еchish lоzim!)

227. Tеng yonli uchburchakning uchidagi burchagi S = 20°. va tоmоnlarida va nuqtalar   bo’ladigan qilib tanlangan.     Bo’lishini isbоtlang. (Masalani trigоnоmеtriya qo’llamay еchish lоzim!)

248. Aylanani tеng to’rt bo’lakka bo’ling. (Masalani faqat sirkul yordamida yasashlar bilan еchish lоzim!)

305. Uchburchak tеng yonli bo’lishi uchun

Tеnglik bajarilishi zarur va еtarli ekanligini isbоtlang ( –uchburchak burchaklari).

326. Mantiq bilan munоsabatingiz qanday? Mana, sinab ko’rish uchun misоl. “V to’plamning kamida ikkita elеmеnti A to’plamga tеgishli” dеgan tasdiq nоto’g’ri bo’lsin. Bundan V to’plam haqida qanday хulоsa kеlib chiqadi.?

357. Mехanika bilan-chi? Marhamat, o’zingizni sinab ko’ring. Uzunligi ga tеng tеmir tayoq (yaъni massaga ega kеsma) yarimsfеra shaklidagi mutlaq silliq (ishqalanish 0 ga tеng) qоzоnda muvоzanat hоlatida yotibdi. Agar qоzоn gоrizоntal hоlatda o’rgatilgan bo’lsa, tayoq qanday vaziyatda jоylashadi?